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| Aufgabe | Gerade wird an Ebene gespiegelt
Die Gerade: [mm] g1:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] ; k R
soll an die Ebene: E: [mm] 2*x_1-x_2-2*x_3+9=0
[/mm]
gespiegelt werden.ermitteln sie die Gleichung der Speigelgerade [mm] g_1 [/mm] |
ich habe kein ansatz, keine skizze ich weiß die lösung nicht. weiß weiner die lösung auf die aufgabe. hört sich ja eigentlich net schwer an
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> Gerade wird an Ebene gespiegelt
> Die Gerade: [mm]g1:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix}+k*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> ; k R
> soll an die Ebene: E: [mm]2*x_1-x_2-2*x_3+9=0[/mm]
> gespiegelt werden.ermitteln sie die Gleichung der
> Speigelgerade [mm]g_1[/mm]
> ich habe kein ansatz, keine skizze
Zeichne doch die Situation so, dass Du in die Richtung der Ebene $E$ schaust: dann sind sowohl $E$ als auch die Gerade $g$ nur als Geraden sichtbar. Markiere nun einen Punkt $P$ auf $g$ und spiegle ihn an der (als Gerade gezeichneten) Ebene $E$. - Wie machst Du dies eigentlich? - Eben: genauso machst Du es auch rechnerisch mit Vektoren...
> ich weiß die lösung
> nicht. weiß weiner die lösung auf die aufgabe. hört sich
> ja eigentlich net schwer an
Überlege zuerst, wie Du einen einzelnen Punkt, sagen wir $P$, an der Ebene $E$ spiegeln kannst. Hast Du dies geschafft, dann kannst Du einfach zwei Punkte der gegebenen Geraden an der Ebene $E$ spiegeln: die Gerade, die durch diese beiden gespiegelten Punkte von $g$ geht, ist die an $E$ gespiegelte Gerade $g$.
1. Weg (einen Punkt $P$ an $E$ zu spiegeln): Bestimme zunächst den Fusspunkt $F$ des Lotes von $P$ auf $E$. Der an $E$ gespiegelte Punkt $P$, nennen wir ihn $P'$, hat dann den Ortsvektor [mm] $\vec{OP'}=\vec{OP}+2\vec{PF}$.
[/mm]
2. Weg: Sei [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] ein Normaleneinheitsvektor von $E$ (ein Normalenvektor lässt sich direkt aus der Ebenengleichung ablesen: nach Division durch seine Länge hat man dann sogar den gewünschten Normaleneinheitsvektor [mm] $\vec{n}_0$ [/mm] von $E$). Sei des weiteren $A$ ein (beliebiger) in der Ebene $E$ liegender Punkt. Dann ist [mm] $\vec{OP'}=\vec{OP}-2(\vec{AP}\cdot \vec{n}_0)\vec{n_0}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:47 So 20.01.2008 | | Autor: | abakus |
Falls die Gerade die Ebene durchstößt, hat man schon einmal einen gemeinsamen Punkt von Original- und Bildgerade.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 So 20.01.2008 | | Autor: | Somebody |
> Falls die Gerade die Ebene durchstößt, hat man schon einmal
> einen gemeinsamen Punkt von Original- und Bildgerade.
Stimmt, das kann man auch machen: Dieser Punkt ist halt eben ein Fixpunkt bei der Spiegelung an $E$, dh. sein eigenes Bild.
Falls aber die Gerade die Ebene nicht durchstösst, genügt ebenfalls die Spiegelung eines einzigen Punktes der Geraden an $E$: denn dann ist der Richtungsvektor der an der Ebene $E$ gespiegelten Geraden $g'$ derselbe wie der Richtungsvektor der gegebenen Geraden $g$.
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