geteilte fkt differenzieren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Surt |
| Aufgabe | Bestimme alle reellen Zahlen x [mm] \in \IR [/mm] in denen die Funktion
[mm] f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls }x \in \IQ\\ x^{2}, & \mbox{sonst} \end{array}\right.
[/mm]
differenzierbar ist und berechne an diesen Stellen die Ableitung. |
Hallo,
Ich hab noch nie Differenzierbarkeit gezeigt und tu mich auch mit der Definition etwas schwer.
Ich weiß, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt, das heißt für alle x für die die Funktion nicht stetig ist, ist sie auch nicht Differenzierbar.
Damit bliebe nur x=0 übrig, weil die Funktion sonst immer zwischen [mm] x^2 [/mm] und 0 "springt".
Da bin ich mir nicht ganz so sicher, weil ja sowohl die rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in [mm] \IR [/mm] liegen, aber mir fehlt auch sonst ein Idee.
Viele Grüße
Surt
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 25.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Bestimme alle reellen Zahlen x [mm]\in \IR[/mm] in denen die
> Funktion
>
> [mm]f(x)=\left\{\begin{array}{cl} 0, & \mbox{falls }x \in \IQ\\ x^{2}, & \mbox{sonst} \end{array}\right.[/mm]
>
> differenzierbar ist und berechne an diesen Stellen die
> Ableitung.
> Hallo,
> Ich hab noch nie Differenzierbarkeit gezeigt und tu mich
> auch mit der Definition etwas schwer.
>
> Ich weiß, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt,
> das heißt für alle x für die die Funktion nicht stetig
> ist, ist sie auch nicht Differenzierbar.
>
> Damit bliebe nur x=0 übrig, weil die Funktion sonst immer
> zwischen [mm]x^2[/mm] und 0 "springt".
Na ja, das ist keine saubere Begründung.
Begründe sauber, dass f in jedem [mm] x_0 \ne [/mm] 0 unstetig ist.
Sei also [mm] x_0 \ne [/mm] 0
Fall 1: [mm] x_0 \notin \IQ. [/mm] Wähle eine Folge [mm] (i_n) [/mm] irrationaler Zahlen mit [mm] i_n \to x_0. [/mm] Was treibt [mm] (f(i_n)) [/mm] ?
Fall 1: [mm] x_0 \in \IQ. [/mm] Wähle eine Folge [mm] (r_n) [/mm] rationaler Zahlen mit [mm] r_n \to x_0. [/mm] Was treibt [mm] (f(r_n)) [/mm] ?
Für die Differenzierbarkeit in 0 zeige:
[mm] |\bruch{f(x)-f(0)}{x-0} [/mm] | [mm] \le [/mm] |x| für alle x.
FRED
> Da bin ich mir nicht ganz so sicher, weil ja sowohl die
> rationalen als auch die irrationalen Zahlen dicht in [mm]\IR[/mm]
> liegen, aber mir fehlt auch sonst ein Idee.
>
> Viele Grüße
> Surt
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:41 Mo 25.06.2012 | | Autor: | Surt |
> Fall 1: $ [mm] x_0 \notin \IQ. [/mm] $ Wähle eine Folge $ [mm] (i_n) [/mm] $ irrationaler Zahlen mit $ [mm] i_n \to x_0. [/mm] $ Was treibt $ [mm] (f(i_n)) [/mm] $ ?
> Fall 2: $ [mm] x_0 \in \IQ. [/mm] $ Wähle eine Folge $ [mm] (r_n) [/mm] $ rationaler Zahlen mit $ [mm] r_n \to x_0. [/mm] $ Was treibt $ [mm] (f(r_n)) [/mm] $ ?
für Fall 1 ist [mm] f(i_{n}) [/mm] = [mm] i_{n}^{2} [/mm] und [mm] \lim_{i_{n}\to x_{0}}f(i_{n}) [/mm] = [mm] x_{0}^2
[/mm]
In Fall 2 ist [mm] f(r_{n}) [/mm] = 0 für alle [mm] r_{n}.
[/mm]
Also hat f je nachdem ob x rational oder irrational ist unterschiedliche Häufungspunkte und damit existiert der Grenzwert im allgemeinen nicht?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 27.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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