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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Berti |
Hallo Leute
Habe ne Frage.
Ich soll Existenz einer eindeutigen Lösung der gewöhnlichen Differentialgleichung
x(0) = 0 x'(t) = sin(x(t)) t [mm] \in [/mm] [0,T]
zeigen. (t dürfen wir uns wählen)
und darauf aufbauend soll ich eine hinreichende Bedingung an f für die Existenz einer Lösung folgender allgemeiner Differentialgleichung an geben (mit Beweis)
x(0) = c X'(t) = f(x(t)) t [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty)
[/mm]
ich dachte eigentlich aus der Physik dass Differentialgleichungen den allgemeinen Lösungsansatz x(t) = x(0)e^kt haben.
aber hier sollen wir irgendwie den Banachschen Fixpunktsatz anwenden. könnt ihr mir vielleicht ein bisschen weiterhelfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:22 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Marvin |
Hi Berti,
Der Banachsche Fixpunktsatz besagt, dass für (X,d) metrischer Raum und f:X->X Kontraktion, folgt, dass ein eindeutig bestimmter Fixpunkt aus x [mm] \in [/mm] X existiert.
Für gewöhnliche Differentialgleichungen gilt f:G-> [mm] \IR [/mm] mit G [mm] \subseteq \IR. [/mm] In diesem Fall ist t aus einem Intervall, also aus [mm] \IR. [/mm] Damit ist erstmal klar, dass [mm] f:\IR-> \IR [/mm] geht und damit auch ein metrischer Raum [mm] (\IR, [/mm] |·|) gegeben ist. Bleibt noch zu zeigen, dass f eine Kontraktion ist.
Die Definition einer Kontraktion ist [mm] d(f(x_1),f(x_2)) \le [/mm] L [mm] d(t_1,t_2) [/mm] mit L < 1. (Beachte das "echt kleiner").
Wenn du das zeigen kannst, bist du fertig, wenn ich mich nicht sehr irre. Ich hoffe, das hilft dir weiter. Poste doch bitte deine weiteren Schritte und Ideen usw.. Vielleicht das nächste Mal auch gleich in der Frage . . .
Grüße,
Marvin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:03 Do 30.06.2005 | | Autor: | Berti |
also Lipschitz-Stetigkeit ist mir bekannt.
wenn ich meine Unterlagen so anschaue dann sehe ich ja dass ich im grunde genommen nur zeigen muss dass f(x) = 0 + [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] {sin [mm] x(\tau)d\tau} [/mm] eine kontraktion ist.
da gehen die probleme schon los. ich weiß nicht wie ich das integral löse denn -cos wird falsch sein. muss ich hier die substitutionsregel anwenden? da würde ich aber auch nur auf unsinn kommen wenn ich [mm] x(\tau) [/mm] substituiere dann stünde ja im Integral sin z [mm] dz/x'(\tau) [/mm] das nützt nicht viel oder? dann stünde da sin z/sin (x(t)) dz das wäre ja 1 weil z = x(t) dann wäre die Lösung des Integrals ja genau x(t), wenn ich resubstituiere.
macht das sinn?
dann hätte ich zu zeigen dass [mm] |x_{2}(t) [/mm] - [mm] x_{1}(t)| [/mm] < [mm] L|t_{1}-t_{2}|
[/mm]
hm wenn das soweit richtig wäre hätte ich jetzt das problem dass ich nicht weiter komme. kann ich einfach sagen die Funktion ist Lipschitz-Stetig und deswegen geht das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:25 Do 30.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du sollst das Integral nicht lösen! sondern als vorbereitung von Aufgabe b) abschätzen
Dir Beweise hier vorzuführen würde zu lange dauern. Du findest sie in jedem Analysisbuch oder script under "Picard-Lindelöf". eine kurze Anleitung auch in Wikipedia, ich find damit könntest du zurecht kommen. Die Beweisidee ist gut, ich find aber da ohne Hilfe drauf zu kommen zu schwer. Weiss allerdings nicht, wie euch der Prof auf die Aufgabe vorbereitet hat. ich geb dir eine Adresse, sonst such unter dem Namen ausführlichere.
![[]](/images/popup.gif) picard-lindelöf
Viel Erfolg
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:45 Mi 29.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ich dachte eigentlich aus der Physik dass
> Differentialgleichungen den allgemeinen Lösungsansatz x(t)
> = x(0)e^kt haben.
Das sagen zum Glück auch wir Physiker nicht. Nur die allereinfachsten, nämlich lineare, homogene Dgl. haben so einfach Lösungen! Im 1. Semester kommen allerdings, weil euch die Mathe noch fehlt, fast nur solche vor (Schwingungen).
deine erst Dgl hat nur die triviale Lösung x(t)=0 weil alle Ableitungen bei 0 verschwinden. bzw. weil x=0 ne Lösung zum gegebenen Anfangswert ist und du noch nachweist, dass es keine zweite Lösung zum selben Anfangswert gibt. für sinx(t) gilt aber schon mal :|sinx-siny|<|x-y| falls [mm] x,y<\pi/also [/mm] ein schöner Anfang.
im übrigen schliess ich mich dem Vorredner an.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 29.06.2005 | | Autor: | Berti |
ok also ich muss dann also zeigen dass |sin x - sin y| < L |x-y| oder?
na dazu sollte ich glaube ich dieses L finden.
gut icjh weiß ja dass der sinus nur werte zwischen 0 und 1 annimmt auf dem Intervall [0, [mm] \pi/2] [/mm] also ist auf der rechten das auf der rechten seite auf jeden fall < 1 dann müsste ich in diesem fall das L zum beispiel 0,5 wählen damit das klappt. reicht das schon aus für die Lösung?
und im allgemeinen Fall ist also meine Bedingung, dass ich eine Kontraktion habe, damit die DGL eindeutig lösbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Mi 29.06.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok also ich muss dann also zeigen dass |sin x - sin y| < L
> |x-y| oder?
> na dazu sollte ich glaube ich dieses L finden.
> gut icjh weiß ja dass der sinus nur werte zwischen 0 und 1
> annimmt auf dem Intervall [0, [mm]\pi/2][/mm] also ist auf der
> rechten das auf der rechten seite auf jeden fall < 1 dann
> müsste ich in diesem fall das L zum beispiel 0,5 wählen
> damit das klappt. reicht das schon aus für die Lösung?
Die Lösung x(t)=0 kennst du doch hier. du brauchst noch die Eindeutigkeit!
> und im allgemeinen Fall ist also meine Bedingung, dass ich
> eine Kontraktion habe, damit die DGL eindeutig lösbar ist?
Ich hoff du hast keine Kontraktion!!
Die HINREICHENDE Bedingung ist, dass du eine Lösung findest zbsp x(t)=x(0)+ [mm] \integral_{0}^{t} [/mm] {f(x) dx} das ist stetig und differenzierbar, und jetzt brauchst du noch die Bedingung für f hast du schon mal was von Lipschitzstetig gehört?. jetzt musst du den Banachschen Fixpunktsatz auf die Iteration von x(t) anwenden. guck dir an, was ihr in der vorlesung gemacht habt. die Eindeutigkeit kommt dabei mit raus. (du musst zeigen, dass es nur einen Fixpunkt gibt!)
Gruss leduart
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