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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:22 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | | $ggT(m,n)=d [mm] \Rightarrow ggT(x^m [/mm] -1 , [mm] x^n-1 [/mm] ) = [mm] x^d [/mm] - 1$ |
Mir fehlt bei dieser Aufgabe der richtige Ansatz.
Angenommen $(m,n)=d$, dann ist [mm] $d=a_0 [/mm] m + [mm] b_0 [/mm] n$. Es ist dann zu zeigen, dass [mm] $(x^m-1 [/mm] , [mm] x^n [/mm] - [mm] 1)=x^d [/mm] - 1 = [mm] r_0 (x^m [/mm] -1) + [mm] s_0 (x^n [/mm] -1 )$.
Ich setze an mit
[mm] $x^d [/mm] - 1 = [mm] x^{a_0 m + b_0 n}- [/mm] 1 = [mm] x^{a_0 m}x^{b_0 n} [/mm] -1 $
Viel weiter komme ich so nicht...
Andereseits könnte man auch die 3. binomische Formel verwenden [mm] $x^d [/mm] - 1 = [mm] (x^{\frac{d}{2}} -1)(x^{\frac{d}{2}} [/mm] +1) -1$. Nur bringt mir das auch nicht wirklich was oder?
Eine Idee wäre super!!
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Hallo
eine Idee (mehr nicht, hab´s nicht ausgeführt): die n-ten bzw. m-ten Einheitswurzeln.
Gruß korbinian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:43 Fr 07.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Vielen Dank, aber könntest du das etwas konkretisieren? Ich hab keine Vorstellung, was du damit meinst
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:39 Fr 07.12.2007 | | Autor: | hadez |
[mm] x^d [/mm] - 1 = [mm] x^{a_0 m + b_0 n}- 1\gdw
[/mm]
[mm] x^d [/mm] = [mm] x^{a_0 m + b_0 n}\gdw
[/mm]
logarithmieren
[mm] d*log(x)=(a_0 [/mm] m + [mm] b_0 n)*log(x)\gdw
[/mm]
[mm] d=a_0 [/mm] m + [mm] b_0 [/mm] n
so müsste das eigentlich klappen...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Ole-Wahn |
Das ist vollkommen richtig, beweist aber nur die Vorraussetzung, hehe. Ich will ja zeigen, dass [mm] $ggt(x^n-1,x^m-1)=x^d-1$ [/mm] und nicht [mm] $d=a_0 [/mm] m+ [mm] b_0 [/mm] n$. Das benutze ich in dem Ansatz ja sogar schoN!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Sa 08.12.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] x^n-1=0 [/mm] hat n komplexe Nullstellen! x1 bis [mm] x_n [/mm] kannst du die aufschreiben mit [mm] 1=e^{2\pi*i} [/mm] entsprechend [mm] x^m-1.
[/mm]
dann kannst du das polynom als Produkt der [mm] x-x_i [/mm] schreiben, es also in "Primfaktoren" zerlegen!
Das ist nur die Ausführung zu k's post!
Gruss leduart
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