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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Do 18.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für alle [mm] a,b,c\in\IZ [/mm] gilt:
ggT(a,b,c) = ggT(ggT(a,b),c) . |
wie ich wieß
[mm] ggT(a,b,c)=d_1 \Rightarrow a|d_1, b|d_1, c|d_1
[/mm]
[mm] ggt(ggT(a,b),c)=d_2 \Rightarrow c|d_2, ggT(a,b)|d_2=ggT(a,b)=d_2\Rightarrow a|d_2,b|d_2
[/mm]
aber wie kann ich beweisen, dass [mm] d_1=d_2
[/mm]
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Weise nach, dass [mm] d_1 [/mm] ein Teiler von [mm] d_2 [/mm] ist und dann, dass [mm] d_2 [/mm] ein Teiler von [mm] d_1 [/mm] ist. Das geht nur dann, wenn die beiden gleich sind.
Der Nachweis ist recht einfach und du kannst deine Ideen dazu verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Do 18.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
(1) [mm] ggT(a,b,c)=d_1 \Rightarrow a|d_1, b|d_1, c|d_1
[/mm]
(2) [mm] ggt(ggT(a,b),c)=d_2 \Rightarrow c|d_2, ggT(a,b)|d_2=ggT(a,b)=d_2\Rightarrow a|d_2,b|d_2
[/mm]
(3) Sei [mm] e\in\IZ, [/mm] so dass a|e,b|e,c|e [mm] \Rightarrow d_1|e [/mm] und [mm] d_2|e
[/mm]
Aus (1) und (3) mit [mm] e=d_1 \Rightarrow d_1|d_2
[/mm]
Aus (2) und (3) mit [mm] e=d_2 \Rightarrow d_2|d_1
[/mm]
[mm] \exists [/mm] r,s : [mm] d_2=d_1*r [/mm] und [mm] d_1=d_2*s
[/mm]
[mm] \Rightarrow d_1=d_1*r*s \Rightarrow [/mm] 1=r*s [mm] \Rightarrow [/mm] s=r=1, da [mm] d_1 [/mm] und [mm] d_2 [/mm] > 0 sind
[mm] \Rightarrow d_1=d_2[/mm]
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Also die eine Richtung:
ggT(ggT(a,b),c) = [mm] d_2
[/mm]
Also gilt: [mm] d_2 [/mm] | c und [mm] d_2 [/mm] | ggT(a,b)
Wegen [mm] d_2 [/mm] | ggT(a,b) gilt also auch [mm] d_2|a [/mm] und [mm] d_2|b
[/mm]
Insgesamt also: [mm] d_2|a [/mm] und [mm] d_2|b [/mm] und [mm] d_2|c, [/mm] somit [mm] d_2|ggT(a,b,c)
[/mm]
Die andere Richtung geht im Prinzip genauso.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Do 18.06.2009 | | Autor: | eppi1981 |
(1) $ [mm] ggT(a,b,c)=d_1 \Rightarrow a|d_1, b|d_1, c|d_1 [/mm] $
(2) $ [mm] ggt(ggT(a,b),c)=d_2 \Rightarrow c|d_2, ggT(a,b)|d_2=ggT(a,b)=d_2\Rightarrow a|d_2,b|d_2 [/mm] $
(3) Sei $ [mm] e\in\IZ, [/mm] $ so dass a|e,b|e,c|e $ [mm] \Rightarrow d_1|e [/mm] $ und $ [mm] d_2|e [/mm] $
Aus (1) und (3) mit $ [mm] e=d_1 \Rightarrow d_1|d_2 [/mm] $
Aus (2) und (3) mit $ [mm] e=d_2 \Rightarrow d_2|d_1 [/mm] $
$ [mm] \exists [/mm] $ r,s : $ [mm] d_2=d_1\cdot{}r [/mm] $ und $ [mm] d_1=d_2\cdot{}s [/mm] $
$ [mm] \Rightarrow d_1=d_1\cdot{}r\cdot{}s \Rightarrow [/mm] $ 1=r*s $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ s=r=1, da $ [mm] d_1 [/mm] $ und $ [mm] d_2 [/mm] $ > 0 sind
$ [mm] \Rightarrow d_1=d_2 [/mm] $
ist das richtig oder?
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Ja, das müsste so stimmen.
Nur bei der Schreibweise bin ich überrascht.
(1) $ [mm] ggT(a,b,c)=d_1 \Rightarrow a|d_1, b|d_1, c|d_1 [/mm] $
Beispiel: a=10, b=20, c=25, also [mm] d_1=5, [/mm] dann würde ich 5|20 schreiben. Vielleicht gibt es aber auch deine Schreibweise (oder einfach vertippt).
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