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ggT der Polynomen in Z3: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:59 Sa 08.12.2012
Autor: ValeriaMM

Aufgabe
Berechnen sie einen ggT der Polynome
[mm] p=x^4-2x^3-2x^2-2x-3, q=x^4-3x^3-7x^2+15x+18 [/mm] über dem Körper [mm] K=Z_3 [/mm]

Ich habe die Aufgabe angefangen zu lösen, wie wir in der Übung gemacht haben. Ich komme aber nicht weiter. Es wäre schön wenn jemand mir helfen könnte.
In [mm] Z_3 [/mm] ist [mm] p=x^4-2x^3-2x^2-2x [/mm] und [mm] q=x^4-x^2 [/mm]
[mm] p:q=x^4-2x3-2x^2-2x):(x^4-x^2)=1 [/mm]
   [mm] -(x^4 -x^2) [/mm]
        [mm] -2x^3-x^2-2x [/mm] =r
[mm] q:r=(x^4-x^2):(-2x^3-x^2-2x)=-0,5x [/mm]

diese 0,5 ist auch mein Problem. Was ist 0,5 in [mm] Z_3? [/mm] Gibt es überhaupt? Mache ich es überhaupt richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt

        
Bezug
ggT der Polynomen in Z3: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Sa 08.12.2012
Autor: MathePower

Hallo ValeriaMM,

[willkommenmr]

> Berechnen sie einen ggT der Polynome
>  [mm]p=x^4-2x^3-2x^2-2x-3, q=x^4-3x^3-7x^2+15x+18[/mm] über dem
> Körper [mm]K=Z_3[/mm]
>  Ich habe die Aufgabe angefangen zu lösen, wie wir in der
> Übung gemacht haben. Ich komme aber nicht weiter. Es wäre
> schön wenn jemand mir helfen könnte.
>  In [mm]Z_3[/mm] ist [mm]p=x^4-2x^3-2x^2-2x[/mm] und [mm]q=x^4-x^2[/mm]


Oder: [mm]p=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x, \ q=x^{4}+2*x^{2}[/mm]


>  [mm]p:q=x^4-2x3-2x^2-2x):(x^4-x^2)=1[/mm]
>     [mm]-(x^4 -x^2)[/mm]
>          [mm]-2x^3-x^2-2x[/mm] =r
>  [mm]q:r=(x^4-x^2):(-2x^3-x^2-2x)=-0,5x[/mm]
>  
> diese 0,5 ist auch mein Problem. Was ist 0,5 in [mm]Z_3?[/mm] Gibt
> es überhaupt? Mache ich es überhaupt richtig?


Das Polynom r kannst Du auch anderst schreiben,
da [mm]-2 \equiv 1[/mm] in [mm]\IZ_{3}[/mm].


>  Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
ggT der Polynomen in Z3: Ergebnis
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:03 So 09.12.2012
Autor: ValeriaMM

Danke für die Korrektur! Jetzt hab ich es geschaft! Hoffentlich richtig:
Also in [mm] Z_3 [/mm] ist dann [mm] p=x^4+x^3+x^2+x [/mm] und [mm] q=x^4+2x^2, [/mm] dann
[mm] p:q=(x^4+x^3+x^2+x):(x^4+2x^2)=1 [/mm]
   [mm] -(x^4 +2x^2) [/mm]
      [mm] x^3-x^2+x=r [/mm]
in [mm] Z_3 [/mm] ist [mm] r=x^3+2x^2+x [/mm]
[mm] q:r=(x^4+2x^2):(x^3+2x^2+x)=x [/mm]
   [mm] -(x^4+2x^3+x^2) [/mm]
       [mm] -2x^3+x^2=r_2 [/mm]
in [mm] Z_3: r_2=x^3+x^2 [/mm]
[mm] r_1:r_2=(x^3+2x^2+x):(x^3+x^2)=1 [/mm]
        [mm] -(x^3+x^2) [/mm]
             [mm] x^2+x=r_3 [/mm]
[mm] r_2:r_3=(x^3+x^2):(x^2+x)=x [/mm]
Also [mm] x^3+x^2=x(x^2+x) [/mm]
Daraus folgt [mm] ggT(p,q)=x^2+x [/mm] in [mm] Z_3 [/mm]

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