ggT im Polynomring k < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:58 Do 14.05.2009 | | Autor: | MartinP |
| Aufgabe | | Berechnen Sie [mm] ggT(X^{3}-1,X^4+X^2+1) [/mm] im Polynomring k[X], wobei k der Körper [mm] \IF_3 [/mm] mit drei Elementen 0,1,2=-1 ist. |
Zu dieser Aufgabe habe ich zwei Rechnungen durchgeführt:
1.
(i) [mm] X^4+X^2+1 [/mm] = [mm] (X)(X^3-1)+X^2+X+1
[/mm]
(ii) [mm] X^3-1 [/mm] = [mm] (X)(X^2+X+1)-X^2-X-1
[/mm]
(iii) [mm] X^2+X+1=(-1)(-X^2-X-1)+0
[/mm]
Demnach wäre mein ggT in [mm] \IR= (-X^2-X-1) [/mm] und somit in [mm] \IF_3 =2X^2+2X+2
[/mm]
2.
(i) [mm] X^4+X^2+1 [/mm] = [mm] (X)(X^3-1)+X^2+X+1
[/mm]
(ii) [mm] X^3-1 [/mm] = [mm] (X)(X^2+X+1)-(X^2+X+1)
[/mm]
(iii) [mm] X^2+X+1= (X^2+X+1)+0
[/mm]
Demnach wäre mein ggT in [mm] \IR= (X^2+X+1) [/mm] und somit in [mm] \IF_3 =X^2+X+1
[/mm]
Nach dem bei uns üblichem Verfahren kommt 1. heraus, in "Maxima" eingegeben kommt als ggT in [mm] \IR [/mm] das zweite heraus.
Große Auswirkungen hat das ganze ja nicht, nur ein Vorzeichenwechsel der jeweils zugehörigen Polynome, aber welches von beiden ist nun das "richtige" ggT?
LG und danke im Voraus Martin
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Hallo MartinP,
> Berechnen Sie [mm]ggT(X^{3}-1,X^4+X^2+1)[/mm] im Polynomring k[X],
> wobei k der Körper [mm]\IF_3[/mm] mit drei Elementen 0,1,2=-1 ist.
> Zu dieser Aufgabe habe ich zwei Rechnungen durchgeführt:
>
> 1.
> (i) [mm]X^4+X^2+1[/mm] = [mm](X)(X^3-1)+X^2+X+1[/mm]
> (ii) [mm]X^3-1[/mm] = [mm](X)(X^2+X+1)-X^2-X-1[/mm]
> (iii) [mm]X^2+X+1=(-1)(-X^2-X-1)+0[/mm]
>
> Demnach wäre mein ggT in [mm]\IR= (-X^2-X-1)[/mm] und somit in [mm]\IF_3 =2X^2+2X+2[/mm]
>
> 2.
> (i) [mm]X^4+X^2+1[/mm] = [mm](X)(X^3-1)+X^2+X+1[/mm]
> (ii) [mm]X^3-1[/mm] = [mm](X)(X^2+X+1)-(X^2+X+1)[/mm]
Hier mußt es heißen:
[mm]X^3-1[/mm] = [mm](X)(X^2+X+1)\red{+}\left(-X^2-X-1\right)[/mm]
> (iii) [mm]X^2+X+1= (X^2+X+1)+0[/mm]
Dann ist
[mm]X^2+X+1= \left(-1\right)*\left(-X^2-X-1\right)+0[/mm]
Was dann dem unter 1.) entspricht.
>
> Demnach wäre mein ggT in [mm]\IR= (X^2+X+1)[/mm] und somit in [mm]\IF_3 =X^2+X+1[/mm]
>
>
> Nach dem bei uns üblichem Verfahren kommt 1. heraus, in
> "Maxima" eingegeben kommt als ggT in [mm]\IR[/mm] das zweite heraus.
>
> Große Auswirkungen hat das ganze ja nicht, nur ein
> Vorzeichenwechsel der jeweils zugehörigen Polynome, aber
> welches von beiden ist nun das "richtige" ggT?
>
> LG und danke im Voraus Martin
>
>
Gruß
MathePower
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:52 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Große Auswirkungen hat das ganze ja nicht, nur ein
> Vorzeichenwechsel der jeweils zugehörigen Polynome, aber
> welches von beiden ist nun das "richtige" ggT?
Der ggT ist i.A. nur bis auf eine Einheit bestimmt. Wenn du zusätzlich noch im Polynomring forderst, dass der Leitkoeffizient 1 sein muss, dann muss man entsprechend den Koeffizienten teilen.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Do 14.05.2009 | | Autor: | MartinP |
Dann versteh ich aber nicht, warum Maxima folgendes ausrechnet:
(%i steht für den input; %o für den output=das was das Programm ausgerechnet hat)
(%i1) [mm] p:x^4+x^2+1;
[/mm]
(%o1) [mm] x^4+x^2+1
[/mm]
(%i2) [mm] q:x^3-1;
[/mm]
(%o2) [mm] x^3-1
[/mm]
(%i3) gcd(q,p);
(%o3) [mm] x^2+x+1
[/mm]
Ich habe es sogar nochmal extra eingegeben und trotzdem bleibt es bei jenem einen Ergebnis, das dem widerspricht das man herausbekommt, wenn man sich an das Lösungsverfahren hält.
(%i4) [mm] gcd(x^4+x^2+1,x^3-1);
[/mm]
(%o4) [mm] x^2+x+1
[/mm]
Ich nehm mal an ihr seid euch sicher mit der Antwort, dass [mm] (-x^2-x-1) [/mm] das richtige Ergebnis ist.
Trotzdem verwundert es mich, dass Maxima und das herkömmliches Lösungsverfahren sich widersprechen.
Habt ihr nicht noch eine Begründung parat, die es eindeutig macht, für welche der Lösungen man sich entscheiden muss?
LG Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:50 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe es sogar nochmal extra eingegeben und trotzdem
> bleibt es bei jenem einen Ergebnis, das dem widerspricht
> das man herausbekommt, wenn man sich an das
> Lösungsverfahren hält.
Da widerspricht sich nichts - aber das hatte ich auch geschrieben.
> Ich nehm mal an ihr seid euch sicher mit der Antwort, dass
> [mm](-x^2-x-1)[/mm] das richtige Ergebnis ist.
> Trotzdem verwundert es mich, dass Maxima und das
> herkömmliches Lösungsverfahren sich widersprechen.
Und ich habe geschrieben warum: es gibt keinen eindeutigen ggT per se im Polynomring. Ein ggT ist nur bis auf Multiplikation mit einer Einheit (hier also mal -1) eindeutig bestimmt - also sind beide Polynome ein ggT. Und keiner ist a priori dem anderen vorzuziehen.
EDIT: außerdem hast du wohl den euklidischen Algo nicht richtig angewendet, ich schreibe noch was dazu.
> Habt ihr nicht noch eine Begründung parat, die es eindeutig
> macht, für welche der Lösungen man sich entscheiden muss?
Wenn man noch fordert, dass der Leitkoeffizient 1 sein muss, dann hat Maxima recht - und du nicht, weil du vergessen hast mit der Einheit -1 zu multiplizieren. Wenn man das weglässt, ist beides richtig.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:57 Do 14.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> (i) [mm]X^4+X^2+1[/mm] = [mm](X)(X^3-1)+X^2+X+1[/mm]
> (ii) [mm]X^3-1[/mm] = [mm](X)(X^2+X+1)-X^2-X-1[/mm]
Das Restpolynom müsste doch nach dem euklidischen Algo von kleinerem Grad (oder 0) sein - was hier nicht der Fall ist, es ist eher [m]X^3-1= (X-1)(X^2+X+1)[/m]. Jedenfalls mit Polynomdivision folgt das so - oder welches Verfahren verwendest du hier genau?
SEcki
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