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| Aufgabe | a)Es seien $a,b [mm] \in \IZ [/mm] $ mit $a|b$ . Zeigen sie . $ggt(a,b) = |a|$
b)
Es sei $k [mm] \in \IN, k\ge [/mm] 2$ und [mm] $a_1,...,a_k \in \IZ$. [/mm] Zeigen sie
[mm] $ggt(a_1,...,a_k )=ggt(ggt(a_1,...,a_{k-1}),a_k [/mm] )$
c )
Es seien a,b [mm] \in \IZ [/mm] mit a [mm] \neq [/mm] 0 oder b [mm] \neq [/mm] 0, [mm] x:=\frac{a}{ggt(a,b)} [/mm] und [mm] y:=\frac{b}{ggt(a,b)}
[/mm]
Zeigen sie $ ggt(x,y)=1 $ |
bew.:
$a)ggt(a,b) = |a| [mm] \gdw [/mm] a|b $
[mm] "\Rightarrow"$
[/mm]
$ggt(a,b) = |a| [mm] \gdw [/mm] |a||(a,b) = a|(a,b)$, da gilt $ a|b$ muss $(a,b)|b$ mit der transitivität der Teilbarkeitsrelation folgt daraus $a|b$
[mm] $"\Leftarrow [/mm] "$
$a|b $ daraus folgt das die Teiler von $a$ auch die Teiler von $b$ sind also $T(a,b)= T(a) [mm] \cap [/mm] T(b) = T(a) = T(|a|) ,$ da $T(a) [mm] \subseteq [/mm] T(b) $weil $a|b.$
daraus folgt $ggt(a,b)=|a|.$
b)
sei
[mm] $ggt(a_1,...,a_k [/mm] )=d$ das heißt [mm] $d|a_1 [/mm] , [mm] d|a_2,...,d|a_k$ [/mm] also [mm] $d|ggt(a_1,...,a_{k-1}) d|a_k [/mm] $, denn [mm] $ggt(a_1,...,a_{k-1})= [/mm] s$ das heißt [mm] $s|a_1 [/mm] , [mm] s|a_2,...,s|a_{k-1}$ [/mm] und $d|s$ damit folgt mit der Transitivität der teilbarkeits relation $ [mm] d|a_1 [/mm] , [mm] d|a_2,...,d|a_{k-1}$. [/mm] also $d [mm] \in ggt(ggt(a_1,...,a_{k-1}),a_k [/mm] ).$
c) zwei zahlen sind teilerfremd [mm] $\gdw [/mm] 1= ax+by $
seit $ggt(a,b) = d >0 $ daraus folgt dass $d|a $ und $d|b $ auch wieder ganze zahlen sind da $d>0 $ also $ d= ggt(a,b) = ggt ( [mm] d\cdot{}\frac{a}{d}, d\cdot{}\frac{b}{d})= d\cdot{} ggt(\frac{a}{d},\frac{b)}{d}= d\cdot{} [/mm] ggt(x,y) $
also $ d = [mm] d\cdot{} [/mm] ggt(x,y) [mm] \gdw [/mm] 1 = ggt(x,y) $
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:42 So 21.06.2015 | | Autor: | nudidudi |
Keiner. ....?:/:(
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 23.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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