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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:00 Di 26.04.2011 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | Seien g, [mm] z_1, [/mm] ... [mm] z_k \in \IZ, k\ge [/mm] 2. Zeigen Sie:
[mm] g\in ggT(z_1, [/mm] ..., [mm] z_k) \gdw (g)=(z_1, [/mm] ..., [mm] z_k) [/mm] |
Hallo,
bei der Hinrichtung habe ich gezeigt, dass [mm] (z_1, [/mm] ..., [mm] z_k)\subseteq(g) [/mm] gilt. Um zu zeigen, dass auch [mm] (z_1, [/mm] ..., [mm] z_k)\supseteq(g) [/mm] gilt, habe ich gesagt, dass [mm] g=\summe_{i=1}^{k}x_i z_i [/mm] für gewisse [mm] x_i \in \IZ [/mm] gilt, allerdings hatten wir in der Vorlesung nur, dass man mit dem euklidischen Algorithmus den ggT von zwei Zahlen bestimmen kann, also nur k=2 und nicht für k>2.
Bei der Rückrichtung habe ich gezeigt, dass [mm] g|z_i [/mm] für alle i=1, ...,k gilt. Damit g [mm] \IN ggT(z_1, [/mm] ..., [mm] z_k) [/mm] muss laut Definition des ggT zudem gelten: für alle [mm] c\in \IZ [/mm] mit [mm] c|z_i [/mm] für alle i=1, ...,k gilt h|g. Allerdings weiß ich nicht, wie ich dies zeigen soll.
Insgesamt weiß ich außerdem, dass die Äquivalenz für k=2 gilt.
Danke für eure Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:47 Mi 27.04.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien g, [mm]z_1,[/mm] ... [mm]z_k \in \IZ, k\ge[/mm] 2. Zeigen Sie:
> [mm]g\in ggT(z_1,[/mm] ..., [mm]z_k) \gdw (g)=(z_1,[/mm] ..., [mm]z_k)[/mm]
>
> bei der Hinrichtung habe ich gezeigt, dass [mm](z_1,[/mm] ...,
> [mm]z_k)\subseteq(g)[/mm] gilt. Um zu zeigen, dass auch [mm](z_1,[/mm] ...,
> [mm]z_k)\supseteq(g)[/mm] gilt, habe ich gesagt, dass
> [mm]g=\summe_{i=1}^{k}x_i z_i[/mm] für gewisse [mm]x_i \in \IZ[/mm] gilt,
> allerdings hatten wir in der Vorlesung nur, dass man mit
> dem euklidischen Algorithmus den ggT von zwei Zahlen
> bestimmen kann, also nur k=2 und nicht für k>2.
Zeige erst per Induktion nach $k$, dass du $g = [mm] \sum_{i=1}^k x_i z_i$ [/mm] darstellen kannst mit [mm] $x_i \in \IZ$. [/mm] Dazu benutze, dass [mm] $ggT(z_1, ggT(z_2, \dots, z_k)) [/mm] = [mm] ggT(z_1, \dots, z_k)$ [/mm] ist.
Daraus folgt dann $g [mm] \in (z_1, \dots, z_k)$.
[/mm]
Die andere Richtung, [mm] $z_1, \dots, z_k \in [/mm] (g)$, folgt aus der Definition des ggT.
> Bei der Rückrichtung habe ich gezeigt, dass [mm]g|z_i[/mm] für
> alle i=1, ...,k gilt. Damit g [mm]\IN ggT(z_1,[/mm] ..., [mm]z_k)[/mm] muss
> laut Definition des ggT zudem gelten: für alle [mm]c\in \IZ[/mm]
> mit [mm]c|z_i[/mm] für alle i=1, ...,k gilt h|g. Allerdings weiß
> ich nicht, wie ich dies zeigen soll.
Wenn $c [mm] \mid z_i$ [/mm] gilt, dann ist [mm] $z_i \in [/mm] (c)$. Da [mm] $z_1, \dots, z_n \in [/mm] (c)$, gilt $(g) = [mm] (z_1, \dots, z_n) \subseteq [/mm] (c)$. Was folgt daraus fuer $g$ und $c$?
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:49 Mi 27.04.2011 | | Autor: | katrin10 |
Vielen Dank für die Hilfe.
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