glatt berandete Teilmenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben:
[mm] M=\{(x,y,z)\in\IR^3|y^2+z^2=2\}
[/mm]
[mm] D=\{(x,y,z)\in M|x^2+y^2\le 1\} [/mm] man beachte [mm] (x,y,z)\in [/mm] M
[mm] q(x,y,z)=:x^2+y^2-1
[/mm]
Zeige: das Differential von q(x,y,z) eingeschränkt auf den Tangentialraum von M ist für alle (x,y,z) aus [mm] \partial [/mm] D (Rand von D) ungleich (0,0,0) |
Guten Abend. Es geht hier darum zu zeigen, dass D glatt berandet ist. Das ist hier nach einer Definition von uns der Fall, wenn man das zeigen kann, was in der Aufgabe verlangt wird.
Den Tangentialraum von M kann man berechnen mit Ker(df(x,y,z))=Ker(0, 2x, [mm] 2z)=span\{\vektor{1 \\ 0 \\0}, \vektor{0 \\ -z \\y}\} [/mm] mit [mm] f(x,y,z)=y^2+z^2-2
[/mm]
dq(x,y,z)=(2x, 2y, 0)
Mein Übungsleiter hat damals nur gezeigt, dass für die beiden Basisvektoren gilt
(2x, 2y, [mm] 0)*\vektor{1 \\ 0 \\0}=2x
[/mm]
(2x, 2y, [mm] 0)*\vektor{0 \\ -z \\y}=-2yz
[/mm]
und das 2x=0 und -2yz=0 nicht zutreffen kann für (x,y,z) aus [mm] \partial [/mm] D, was ja auch klar ist. Aber wieso reicht es aus, dass dann gilt:
[mm] dq(x,y,z)|_{T_{x,y,z} M}=(2x, [/mm] 2y, [mm] 0)|_{T_{x,y,z} M}\not=(0,0,0)
[/mm]
[mm] T_{x,y,z} [/mm] M ist der Tangentialraum von M und (x,y,z) [mm] \in\partial [/mm] D
Gruß, kulli
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Hallo, vielleicht führe ich nochmal genauer aus was mein Problem ist.
Notation:
- Sei [mm] M\subset\IR^N [/mm] eine n-dimensionale Untermannigfaltigkeit
- [mm] T_x [/mm] M der Tangentialraum von M in einem Punkt [mm] x\in [/mm] M
- [mm] \partial [/mm] D der Rand von D
Definition (Glatt berandete Teilmenge von M):
Eine Teilmenge [mm] D\subset [/mm] M heißt glatt berandet, wenn es zu jedem Randpunkt [mm] a\in \partial [/mm] D eine Umgebung [mm] U\subset [/mm] M von a und in dieser eine stetig differenzierbare Funktion q: [mm] U\to \IR [/mm] gibt mit [mm] dq(x)\not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] U und [mm] G\cap U=\{x\in U|q(x)\le 0\}
[/mm]
Zwei Fragen:
(1) Hier steht allerdings nicht, dass [mm] dq(x)*v\not=0 [/mm] für [mm] x\in [/mm] U und [mm] v\in T_x [/mm] M sein muss. Ist es trotzdem so gemeint? Also reicht es nicht wenn man zeigt, dass dq(x) für x aus U nicht die Nullmatrix sein kann?
(2) Wenn es so ist wie in (1) wie zeigt man dann, dass [mm] q(x)*v\not=0 [/mm] für alle x aus U und v aus [mm] T_x [/mm] M?
Ich muss das unbedingt mal klarstellen..
Gruß kulli
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Mi 27.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 26.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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