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| Aufgabe | Sei $X$ eine glatte Mannigfaltigkeit und [mm] $U\subseteq [/mm] X$ offen.
Definieren Sie auf $U$ eine (kanonische) glatte Struktur, für welche die Einbettung [mm] $U\to [/mm] X$ glatt wird. |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe.
Ich möchte eine glatte Struktur angeben so, dass die Einbettung [mm] $U\to [/mm] X$ glatt wird.
Angeben soll ich also einen maximal glatten Atlas [mm] $\overline{\mathcal{A}}$. [/mm] Das heißt alle Kartenwechsel sollen glatt (unendlich oft differenzierbar) sein.
Nun:
Da $X$ glatte Mannigfaltigkeit, gibt es einen maximalen Atlas [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] für $X$.
Da $X$ zweit-abzählbar, gibt es eine abzählbare Basis offener Mengen, durch die sich alle offenen Mengen in $X$ als Vereinigung darstellen lassen.
Sei also $I$ eine abzählbare Indexmenge. Dann sind [mm] $U_i\subseteq [/mm] X$ offen, für alle [mm] $i\in [/mm] I$.
Sei [mm] $U_{j_u}\ni u\subseteq [/mm] X$ offen
Dann ist [mm] $U=\bigcup_{u\in U} U_{j_u}$.
[/mm]
Da [mm] $\mathcal{A}$ [/mm] Atlas für X, gibt es offene Mengen $V$ und und Homöomorphismen [mm] $\varphi$ [/mm] mit
[mm] $\bigcup_{(V,\varphi)} [/mm] V=X$
Ich möchte nun für jede offene Menge [mm] $U_{j_u}$ [/mm] eine offene Menge [mm] $V_j$ [/mm] wählen, mit [mm] $U_{j_u}\subseteq V_j$ [/mm] und dann den zugehörigen Homöomorphismus auf [mm] $U_{j_u}$ [/mm] einschränken.
Dies liefert mir dann hoffentlich einen maximalen Atlas auf $U$.
Die Einbettung [mm] $\iota: U\to [/mm] X$ mit [mm] $u\mapsto [/mm] u$ sollte so auch glatt werden.
Das wären meine Ideen zu dieser Aufgabe.
Könnt ihr mir dabei helfen es sauber aufzuschreiben und korrekt zu beenden, bzw. Fehler aufzeigen und wie ich es besser machen kann?
Vielen Dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Sa 02.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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