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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:21 Di 08.04.2008 | | Autor: | DannyL |
| Aufgabe | Berechnung des Bahngeschwindigkeitsvektors, wenn sich ein Massepunkt im Uhrzeigersinn auf eine Kreisbahn mit Radius R=0,5m in der x-y-ebene und Kreismittelpunkt im Ursprung bedindet.
Man betrachte den Zeitpunkt t1, wenn die Punktmasse sich am Ort x = 0,2m mit y > 0 m befindet. Die Winkelgeschwindigkeit des Massepunktes betrage w=0,4/s |
Hallo,
erstemal die Lösung aus der schule
(habe die vorgänge mit a,b,c ... beschriftet, dass ich mich später drauf beziehen kann)
a) [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vec{w} [/mm] x [mm] \vec{r}
[/mm]
b) in x-y-Ebene, im Uhrzeigersinn -->
[mm] \vec{w} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -0,4/s}
[/mm]
c) [mm] \vec{r} [/mm] = [mm] \vektor{0,2m \\ 0,458m \\ 0}
[/mm]
y --> wurde errechnet über --> y = [mm] \wurzel{r^2 - x^2} [/mm] = 0,458m
d) [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ -0,4} [/mm] x [mm] \vektor{0,2 \\ 0,458 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{0,183 \\ -0,08 \\ 0} [/mm] m/s
so jetzt nach langen ausführungen ;), endlich mal meine fragen.
irgendwie bin ich davon total erschlagen
1. warum ist die in (a) die z ebene belegt? ich dachte, rein von der aufgabenstellung wäre das ganze nur im x-y-raum
2. was ist überhaupt [mm] \vec{2}? [/mm] Soll ja die Winkelbeschleunigung sein und im 2d raum sagt mir das auch was (veränderung des winkels von ort eins zu ort zwei --> zurückgelegte strecke = [(winkel ort neu) - (winkel ort alt)] * r) --> also zurück gelegter winkel in zeiteinheit.
3. ist radius = beschleunigung. In den büchern zeigen die eben immer die beschleunigung als vektor der immer den Kreismittelpunkt sucht .. was sich für mich wie der radius anhört.
4. warum nehme ich aus geschwindigkeit und radius, dass kreuzprodukt um die winkelgeschwindigkeit zu bekommen? Die geschwindigkeit ist doch die tangente an der Kreisbahn und liegt mit 90 ° am [mm] \vec{r} [/mm] an! warum soll ich da ein kreuzprodukt (welches mir ja die fläche des aufgespannten parallelogramms gibt) bilden?
ich hoffe mir kann jemand helfen
und bedanke mich schon mal im voraus
Gruß Danny
3. warum
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Hallo!
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> 1. warum ist die in (a) die z ebene belegt? ich dachte,
> rein von der aufgabenstellung wäre das ganze nur im
> x-y-raum
Man kann das ganze natürlich auch in 2D berechnen, das ist nicht das Problem.
Aber man hat eben eine schöne Formel [mm] $\vec [/mm] v = [mm] \vec \omega \times \vec [/mm] r$ , welche einem Das Ergebnis quasi ohne zu überlegen direkt liefert. Das Dumme ist, daß das Vektorprodukt nur in 3D gilt, und man das darauf erweitern muss. (Dazu unten mehr. ich glaube,das wurde so gerechnet, damit ihr das mal mit Vektoren seht!)
> 2. was ist überhaupt [mm]\vec{2}?[/mm] Soll ja die
> Winkelbeschleunigung sein und im 2d raum sagt mir das auch
> was (veränderung des winkels von ort eins zu ort zwei -->
> zurückgelegte strecke = [(winkel ort neu) - (winkel ort
> alt)] * r) --> also zurück gelegter winkel in zeiteinheit.
Du meinst [mm] \omega [/mm] ? Das ist eine WinkelGESCHWINDIGKEIT, und hat erstmal die gleiche Bedeutung wie in 2D. In 3D jedoch brauchst du eine Zusatz-Info: Um welche Achse wird denn gedreht?
Deshalb verwendet man auch da Vektoren. Der Betrag gibt dir die reine Geschwindigkeit, und die tatsache, daß es ein Vektor ist, gibt dir die Achse. Hier wird ja auch um die z-Achse gedreht!
Beachte: Mit dem Vorzeichen gibt man auch noch die Drehrichtung an!
>
> 3. ist radius = beschleunigung. In den büchern zeigen die
> eben immer die beschleunigung als vektor der immer den
> Kreismittelpunkt sucht .. was sich für mich wie der radius
> anhört.
NJein. Damit ein Körper auf einer Kreisbahn bleibt, muß er zur Kreismitte hin gezogen, also beschleunigt werden. Die Beschleunigung zeigt in die gleiche Richtung, ist aber nicht gleich dem Radius. Stell dir vor, die Bahn/Winkelgeschwindigkeit würde immer größer, dann würde der Beschleunigungsvektor nicht mehr in Richtung Kreismittelpunkt zeigen.
>
> 4. warum nehme ich aus geschwindigkeit und radius, dass
> kreuzprodukt um die winkelgeschwindigkeit zu bekommen? Die
> geschwindigkeit ist doch die tangente an der Kreisbahn und
> liegt mit 90 ° am [mm]\vec{r}[/mm] an! warum soll ich da ein
> kreuzprodukt (welches mir ja die fläche des aufgespannten
> parallelogramms gibt) bilden?
Es gibt immer verschiedene Interpretationen für das Kreuzprodukt. Erstmal: Das Kreuzprodukt liefert einen Vektor, der senkrecht zu den anderen beiden steht. Wenn du mal nachdenkst, bedeutet das, daß manso automatisch auf die Richtungsgrade deiner Tangete kommt.
Für die Länge gilt [mm] $|\vec [/mm] a [mm] \times \vec b|=|\vec a||\vec b|\sin(\angle\vec [/mm] a [mm] \vec [/mm] b )$
Hier ist der SIN gleich 1, und du bekommst [mm] $|\vec \omega \times \vec r|=|\vec \omega||\vec [/mm] r|$
Dies sollte ein bekanntes Ergebnis sein, das ihr sicher schon hattet, aber eben ohne Vektoren.
Letztendlich würdest du aber normalerweise die Tangente bestimmen, und dann die Geschwindigkeit, um die Tangente anschließend auf eine Länge zu bringen, die der Geschwindigkeit entspricht. Mit dem Vektorprodukt ist das alles ein Schritt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Di 08.04.2008 | | Autor: | DannyL |
heißt das der Betrag von [mm] \vec{w} [/mm] ist die geschwindigkeit der des teilchen auf dem kreis? --> also eben in winkel, so zu sagen winkel in sekunden (z.b. das teilchen schafft 30° in einer sekunde)?
das hieße ja, dass ich von dieser winkel pro sekunde --> das bogenmaß für den winkel ausrechnen könnte (somit weiß ich wie lang der bogen ist) multipliziert mit dem radius (die länge der zurückgelegten strecke pro sekunde) ... und somit hätte ich ja die geschwindigkeit!
jetzt noch eine letzte frage. wie bekomme ich dann die beschleunigung. Diese sollte ja immer gleich sein im betrag. aber die einzelnen dimensionen verändern sich ja. somit ändert sich der vektor ständig.
das problem dahinter ist, ich weiß niht wie ich ein vektor ableiten soll (also wüßte ich schon, jede dimension einzeln). wie kann ich denn in meinem endergebnis die beschleunigung sichtbar machen?
das ergebnis war [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{0,183 \\ -0,08 \\ 0} [/mm] m/s
.. und wenn ich den ableite käme raus [mm] \vec{a} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] ???
so ganz richtig ist das ja nicht, im betrag wäre ja die beschleunigung = 0 aber die einzelnen dimensionen müssten sich ja verändern.
vielen dank schonmal im voraus
Gruß danny
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Hallo!
> heißt das der Betrag von [mm]\vec{w}[/mm] ist die geschwindigkeit
> der des teilchen auf dem kreis? --> also eben in winkel, so
> zu sagen winkel in sekunden (z.b. das teilchen schafft 30°
> in einer sekunde)?
Richtig!
>
> das hieße ja, dass ich von dieser winkel pro sekunde -->
> das bogenmaß für den winkel ausrechnen könnte (somit weiß
> ich wie lang der bogen ist) multipliziert mit dem radius
> (die länge der zurückgelegten strecke pro sekunde) ... und
> somit hätte ich ja die geschwindigkeit!
Hier weiß ich nicht ganz, was du mir sagen willst. Der zurückgelegte Winkel [mm] \phi [/mm] nach einer Zeit t ist [mm] $\phi=\omega [/mm] t$
Und der zurückgelegte Weg ist [mm] $b=r\phi=r\omega [/mm] t$
WEnn du das durch die Zeit teilst, kommst du wieder auf
[mm] $b/r=v=r\omega [/mm] $ , und das ist ein altbekanntes Ergebnis, von oben.
>
> jetzt noch eine letzte frage. wie bekomme ich dann die
> beschleunigung. Diese sollte ja immer gleich sein im
> betrag. aber die einzelnen dimensionen verändern sich ja.
> somit ändert sich der vektor ständig.
>
> das problem dahinter ist, ich weiß niht wie ich ein vektor
> ableiten soll (also wüßte ich schon, jede dimension
> einzeln). wie kann ich denn in meinem endergebnis die
> beschleunigung sichtbar machen?
> das ergebnis war [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]\vektor{0,183 \\ -0,08 \\ 0}[/mm]
> m/s
> .. und wenn ich den ableite käme raus [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ 0 \\ 0}[/mm]
> ???
Das ist richtig, aber dein Geschwindigkeitsvektor ist ja auch ein Tangentenvektor. Er beschreibt die Geschwindigkeit zu einem Zeitpunkt als eine gradlinige Bewegung, und diese ist nunmal unbeschleunigt, dann passt das.
> so ganz richtig ist das ja nicht, im betrag wäre ja die
> beschleunigung = 0 aber die einzelnen dimensionen müssten
> sich ja verändern.
Genau. Machen wir das mal allgemein.
Dein Teilchen beschreibt eine Kreisbahn:
[mm] \vec{x}=\vektor{R\cos\omega t\\ R\sin\omega t }=R\vektor{\cos\omega t \\ \sin\omega t}
[/mm]
Das ist jetzt die Ortskurve, nicht die zurückgelegte Strecke!
Die Ableitung ist die GEschwindigkeit:
[mm] $\vec v=\dot{\vec x}=\underbrace{R\omega}_{=v}\vektor{-\sin\omega t \\ \cos\omega t}$
[/mm]
Und jetzt nochmal ableiten, und du bekommst die Beschleunigung!
Nun noch was nettes:
Angenommen, du bist an einer Stelle [mm] \vec{x} [/mm] . In welche Richtung zeigen dann [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | DannyL |
> Angenommen, du bist an einer Stelle [mm]\vec{x}[/mm] . In welche
> Richtung zeigen dann [mm]\vec{v}[/mm] und [mm]\vec{a}[/mm] ?
Weiß ich nicht wirkich.
ich würde sagen
wenn ich an der stelle [mm] \vec{x} [/mm] bin. dann wäre das mein ortzeit-vektor würde sagen, das ist mein radius vom mittelpunkt entfernt auf der kreisbahn. [mm] \vec{v}, [/mm] die geschwindigkeit würde mit 90 ° an diesem liegen, quasie in die richtung in die sich mein teilchen bewegen würde wenn keine kreisbewegung vorhanden wäre. und bei [mm] \vec{a} [/mm] habe ich keine ahnung!
??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:46 Di 08.04.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Die Ableitung von [mm] \vec{v(t)} [/mm] steht wieder senkrecht auf [mm] \vec{v(t)} [/mm] zeigt also entgegengestzt zu [mm] \vec{x(t)} [/mm] das sooltest du aber direkt sehen:
[mm] R*\vektor{coswt \\ sinwt} [/mm] senkrecht zu [mm] R*w*\vektor{-sinwt \\ coswt} [/mm] und
[mm] Rw^2\vektor{-coswt\\-sinwt} [/mm] solltest du sehen ist [mm] -w^2*R\vektor{coswt \\ sinwt}
[/mm]
oder hast du noch nie mit Vektoren gerechnet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:05 Fr 11.04.2008 | | Autor: | DannyL |
Ja doch ich habe schön öfters mit Vektoren gerechnet. ich kann mir nur nicht viel unter [mm] w^2 [/mm] und -sinus usw. vorstellen, da fehlt mir wahrscheinlich das vorstellungsvermögen. ;)
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm]R*\vektor{coswt \\ sinwt}[/mm]
[mm] \vec{v} [/mm] = [mm]R*w*\vektor{-sinwt \\ coswt}[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm]Rw^2\vektor{-coswt\\-sinwt}[/mm]
[mm] \vec{a} [/mm] = [mm]-w^2*R\vektor{coswt \\ sinwt}[/mm]
ok soweit ist das ja nicht anders als bei den gleichmäßig beschleunigten körpern, die man gut ohne vektoren ausrechnen kann. also meine die ableitungen x -> v -> a.
aber ich verste immer noch nicht in welche richtung [mm] \vec{a} [/mm] dann zeigt. [mm] \vec{x} [/mm] ist ja der radius der quasie vom mittelpunkt auf die kreisbahn zeigt. [mm] \vec{v} [/mm] liegt mit 90° an [mm] \vec{x} [/mm] in richtung der teilchenbewegung. ... heißt das, dass [mm] \vec{a} [/mm] sich genauso verhalten muss zu [mm] \vec{v} [/mm] wie [mm] \vec{v} [/mm] zu [mm] \vec{x}? [/mm] also n och mal mit 90° anliegt? aber in welche Richtung?
mir fehlen noch ein wenig die ganzen zusammenhänge und vorallem fehlen mir ein ganzer schwung überungsaufgaben. ... vielleicht kennt sich da ja jemand aus. ein gutes buch oder eine gute webseite würden mir da helfen.
gruß und danke im voraus
danny
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Hallo!
> Ja doch ich habe schön öfters mit Vektoren gerechnet. ich
> kann mir nur nicht viel unter [mm]w^2[/mm] und -sinus usw.
> vorstellen, da fehlt mir wahrscheinlich das
> vorstellungsvermögen. ;)
>
>
> [mm]\vec{x}[/mm] = [mm]R*\vektor{coswt \\ sinwt}[/mm]
> [mm]\vec{v}[/mm] = [mm]R*w*\vektor{-sinwt \\ coswt}[/mm]
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]Rw^2\vektor{-coswt\\-sinwt}[/mm]
> [mm]\vec{a}[/mm] = [mm]-w^2*R\vektor{coswt \\ sinwt}[/mm]
>
Das ist richtig!
> ok soweit ist das ja nicht anders als bei den gleichmäßig
> beschleunigten körpern, die man gut ohne vektoren
> ausrechnen kann. also meine die ableitungen x -> v -> a.
Ja, das ist immer so, daß du nach der Zeit ableitest.
>
> aber ich verste immer noch nicht in welche richtung [mm]\vec{a}[/mm]
> dann zeigt. [mm]\vec{x}[/mm] ist ja der radius der quasie vom
> mittelpunkt auf die kreisbahn zeigt. [mm]\vec{v}[/mm] liegt mit 90°
> an [mm]\vec{x}[/mm] in richtung der teilchenbewegung. ... heißt das,
> dass [mm]\vec{a}[/mm] sich genauso verhalten muss zu [mm]\vec{v}[/mm] wie
> [mm]\vec{v}[/mm] zu [mm]\vec{x}?[/mm] also n och mal mit 90° anliegt? aber in
> welche Richtung?
Naja, das Problem bei Vektoren ist doch grade, daß sie eigentlich keinen Bezug zu einem festen Punkt im Koordinatensystem haben. Wo die Vektoren angeheftet sind, ist völlig egal, das einzige, was sie dir geben können, ist eine Richtung.
Bei [mm] \vec{x} [/mm] sagt man eben, daß dieser Vektor immer am Ursprung angeheftet sein soll, mit wachsendem t dreht er sich dann im Kreis. [mm] \vec{v} [/mm] und [mm] \vec{a} [/mm] kannst du dann z.B. an deiner Masse anheften.
Daß [mm] \vec{a} [/mm] nochmal um 90° gegen [mm] \vec{v} [/mm] verdreht ist, stimmt. Aber alleine aus den Formeln, so wie sie da stehen, kannst du doch schon ablesen, daß [mm] \vec{a} [/mm] genau entgegen [mm] \vec{x} [/mm] zeigt. Der Vektor ist gleich, da kommt ein [mm] \omega^2 [/mm] rein, und dann ist da ein Minuszeichen!
Du könntest auch gerne mal für [mm] \sin(\alpha) [/mm] und [mm] \cos(\alpha) [/mm] einfach mal 1 einsetzen. Das ist zwar nicht ganz richtig, weil [mm] \sin^2+\cos^2=1 [/mm] dann nicht mehr gilt, aber im Prinzip kannst du dir daran mal die Richtungen klar machen.
>
> mir fehlen noch ein wenig die ganzen zusammenhänge und
> vorallem fehlen mir ein ganzer schwung überungsaufgaben.
> ... vielleicht kennt sich da ja jemand aus. ein gutes buch
> oder eine gute webseite würden mir da helfen.
Da kann ich dir leider nicht helfen.
>
> gruß und danke im voraus
> danny
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