gleichheiten von lim; richtig? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:10 So 13.11.2005 | | Autor: | AriR |
hey LEute, habe gerade folgende aufgabe "gelöst" und wollte fragen, ob das so richtig ist.
Seien [mm] \alpha [/mm] , [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] reelle Zahlen und [mm] a_{n}n\IN [/mm] eine Folge reeller Zahlen mit der Eigenschaft,
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n}=\alpha
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{2n+1}=\beta
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{3n}=\gamma
[/mm]
Zeigen sie, dass [mm] \alpha=\beta=\gamma [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\alpha.
[/mm]
Habe das so gelöst:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2n [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] 2n+1 = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}3n=\limes_{n\rightarrow\infty}n=\infty
[/mm]
daraus folgt, dass [mm] \alpha=\beta=\gamma [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2n=\alpha [/mm] qed.
ist das so richtig?
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Hallo,
wie kommst du eigentlich darauf, dass beispielsweise
[mm] a_{2n+1}=2n+1 [/mm] ist?
[mm] a_{2n+1} [/mm] ist doch eine Teilfolge von [mm] a_{n}. [/mm] Du musst also zeigen, dass die 3 geg. Teilfolgen gegen denselben Wert konvergieren.
Bleibt also die Frage, ob [mm] a_{n} [/mm] konvergiert oder zumindest beschränkt ist, denn dann konvergiert jede Teilfolge gegen denselben Wert (Bolzano-Weierstrass).
Da wir es aber offensichtlich mit konvergenten Teilfolgen zu tun haben, ist deren Grenzwert auch Grenzwert von [mm] a_{n}, [/mm] denn jede Umgebung des Grenzwertes enthält fast alle Glieder der Gesamtfolge, also erst recht fast alle Glieder einer Teilfolge.
VG Daniel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 So 13.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Daniel
> Bleibt also die Frage, ob [mm]a_{n}[/mm] konvergiert oder zumindest
> beschränkt ist, denn dann konvergiert jede Teilfolge gegen
> denselben Wert (Bolzano-Weierstrass).
>
> Da wir es aber offensichtlich mit konvergenten Teilfolgen
> zu tun haben, ist deren Grenzwert auch Grenzwert von [mm]a_{n},[/mm]
> denn jede Umgebung des Grenzwertes enthält fast alle
> Glieder der Gesamtfolge, also erst recht fast alle Glieder
> einer Teilfolge.
Wenn [mm] a_{n} [/mm] konv. dann alle Teilfolgen. Aber wenn einige Teilfolgen konv. dann nicht unbedingt die Folge siehe 1 2 1 2 1 2 1 2.....
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 So 13.11.2005 | | Autor: | AriR |
ich meinte das so.. die teilfolgen streben ja alle gegen den selber wert wie [mm] a_{n}, [/mm] da wenn man n betrachtet für n -> [mm] \infty [/mm] die teilfolgen alle identisch sind also [mm] a_{ \infty} [/mm] überall stehen würde und daher konvergieren alle gegen a oder nicht? ich weiß nicht, ob man das so formulieren kann.. Die Blozano-Weierstoß Geschichte hatten wir auch, dafür müsste ich beweisen, dass das teilfolgen sind:
also kann ich doch schreiben:
[mm] a_{2n}:= a_{n}_{k} [/mm] für k=2k [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}_{k}=a [/mm] , da [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a [/mm] für die erste teilfolge oder?
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Für k=2 kannste das schreiben k=2k widerspricht sich ein wenig ;)
Deine Beweisführung in der eigentlichen Frage fand ich etwas - merkwürdig aber durchaus okay also die Grenzwerte deiner Werte
n, 2n, 2n+1 und so mit n gegen unendlich sind durchaus gleich (nämlich [mm] \infty), [/mm] kommt ja überall linear n vor.
Also ich würd das nur ein wenig anders vormulieren
Vorrausgesetzt sei [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \alpha
[/mm]
Betrachtet man nun die Teilfolge
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{2n}
[/mm]
So entspricht dies jedem 2. Folgenglied der eigentlichen Folge, davon liegen ebenfalls unendlich viele in einer [mm] \epsilon [/mm] - Umgebung um [mm] \alpha \Rightarrow [/mm] Die Folge [mm] a_{2n} [/mm] konvergiert ebenfalls gegen [mm] \alpha
[/mm]
Analog die anderen Folgen und du hast deinen Beweis erbracht.
Einzige Darlegung deines Beweises ist also etwas merkwürdig, sonst isses okay.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:39 So 13.11.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo ari
Dass dein Beweis falsch ist siehst du an folgender Folge: 1,2,1,2,1,2,1,.........
[mm] a_{2n}=2 [/mm] also konvergiert die Folge auch gegen 2
[mm] a_{2n+1}=1 [/mm] konvergiert gegen 1.
und die Aussage [mm] limn=\infty [/mm] lim 2n [mm] =\infty [/mm] sind verkürzte aussagen für n divergiert, d.h. lim existiert nich! deshalb ist auch lim n= lim 2n sinnlos.
Also neu überlegen.
Benutze, wenn eine Folge konv, dann auch jede Teilfolge, und achte auf diebesonderen Indizes!
Gruss leduart
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Dein Gegenbeispiel ist kein Gegenbeispiel ;)
Deine Folge [mm] a_{n} [/mm] = 1,2,1,2,1,2,1,2,... ist überhaupt nicht konvergent.
Aber ansonsten (siehe auch meine andre Antwort) ist einfach die Aussage "Alle Teilfolgen einer konvergenten Folge haben den gleichen Grenzwert wie die Folge selbst" die Lösung der Aufgabe
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