gleichm. stetigkeit bestimmen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | welcher der folgenden Funktionen sind gleichmäßig stetig?
a) f: [mm] [-1,\infty) \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto \wurzel{1+x}
[/mm]
b) f: [mm] \IR \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^{2}
[/mm]
c) f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] , x [mm] \mapsto x^{2} [/mm] |
huhu,
erstmal zur a) hab ich folgendes bis jetzt alleine geschafft:
|x-y|< [mm] \delta [/mm] => |f(x)-f(y)|< [mm] \varepsilon
[/mm]
hab ich erstmal so gemacht:
[mm] |\wurzel{1+x} [/mm] - [mm] \wurzel{1+y}|< \varepsilon
[/mm]
mit der dritten binomischen formel komm ich auf:
[mm] \bruch{x-y}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}} [/mm] < [mm] \bruch{\delta}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}} [/mm] halt das delta noch oben eingesetzt. meine frage: reicht das so? darf epsilon abhängig sein von x und y ? nein oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Mi 28.12.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> welcher der folgenden Funktionen sind gleichmäßig
> stetig?
>
> a) f: [mm][-1,\infty) \to \IR[/mm] , [mm]x \mapsto \wurzel{1+x}[/mm]
>
> b) f: [mm]\IR \to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto x^{2}[/mm]
>
> c) f: [0,1] [mm]\to \IR[/mm] , x [mm]\mapsto x^{2}[/mm]
> huhu,
> erstmal zur a) hab ich folgendes bis jetzt alleine
> geschafft:
>
> [mm]|x-y|< delta[/mm] => [mm]|f(x)-f(y)|< \varepsilon[/mm]
>
> hab ich erstmal so gemacht:
>
> [mm]|\wurzel{1+x} - \wurzel{1+y}|< \varepsilon[/mm]
>
> mit der dritten binomischen formel komm ich auf:
>
> [mm]\bruch{x-y}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}} < \bruch{\delta}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}}[/mm] halt das delta
> noch oben eingesetzt. meine frage: reicht das so? darf
> epsilon abhängig sein von x und y ? nein oder?
Also erst einmal: [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird immer vorgegeben; du sollst ein passendes [mm] $\delta$ [/mm] bestimmen. Gleichmäßige Stetigkeit liegt vor, wenn du für ein gegebenes [mm] $\varepsilon$ [/mm] dein [mm] $\delta$ [/mm] unabhängig von x und y bestimmen kannst. Geht das nur in Abhängigkeit von x oder y, so liegt "normale" Stetigkeit vor.
Du gehst also von [mm] $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$ [/mm] aus und suchst ein [mm] $\delta$, [/mm] sodass aus [mm]|x-y|< delta[/mm] die Gültigkeit der ersten Ungleichung folgt. Die übliche Methode ist eine Ungleichungskette zu erstellen, die [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $\delta§ [/mm] verknüpft.
Dein Ansatz mit der dritten binomischen Formel ist in Ordnung, aber du hast das nicht konsequent durchgezogen. Vergiss die Betragstriche nicht! Also:
[mm] |\wurzel{1+x} - \wurzel{1+y}| = \left|\bruch{x-y}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}}\right| = \bruch{|x-y|}{|\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}|}= \bruch{|x-y|}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}}[/mm] .
Hier ist der Zähler $|x-y|$ schon das, worauf du hinauswillst, du musst also den Nenner loswerden. Für [mm] $x,y\ge [/mm] 0$ ließe er sich gut abschätzen, denn für [mm] $x,y\ge [/mm] 0 ist
[mm] \wurzel{1+x} + \wurzel{1+y} \ge 2 \implies \bruch{|x-y|}{\wurzel{1+x} + \wurzel{1+y}} \le \bruch{1}{2} |x-y| [/mm] .
Das bedeutet, aus [mm] $|x-y|<\delta$ [/mm] folgt
[mm] |f(x)-f(y)| = |\wurzel{1+x} - \wurzel{1+y}|\le \bruch{1}{2} |x-y| < \bruch{1}{2} \delta [/mm] ,
also wäre [mm] $\delta [/mm] = [mm] 2\epsilon$ [/mm] eine gute Wahl.
Ich habe hiermit gezeigt, dass die Funktion auf dem Intervall [mm] $[0,\infty)$ [/mm] gleichmäßig stetig ist.
Nun ist aber leider der Definitionsbereich das Intervall [mm] $[-1,\infty)$, [/mm] das heisst du kannst diese Abschätzung nicht machen, denn der Nenner [mm] $\wurzel{1+x} [/mm] + [mm] \wurzel{1+y}$ [/mm] kann beliebig klein werden, wenn du mit x und y nur nahe genaug an die -1 herangehst. Und das heisst wiederum, dass dein [mm] $\delta$ [/mm] auch immer kleiner werden muss, je näher du mit x und y der -1 kommst. Also kannst du kein [mm] $\delta$ [/mm] angeben, das unabhängig von x und y ist; die Funktion ist auf [mm] $[-1,\infty)$ [/mm] stetig, aber nicht gleichmäßig stetig.
Viele Grüße
Rainer
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huhu,
danke für die ausführliche Erklärung erstmal.
Eine Frage hätte ich noch bezüglich a) bzw auch b) da ich weiss aus der vorlesung dass die abbildung auf [mm] x^{2} [/mm] stetig aber nicht gleiczhm stetig ist. Nurwie beweise ich das richig? reicht es ein delta zu finden dass in abhängigkeit zu x und y steht sodass man sagen kann dass es nur punktweise stetig ist? oder ist das kein Beweis für eine NICHT gleichm stetigkeit?
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Hallo,
> danke für die ausführliche Erklärung erstmal.
> Eine Frage hätte ich noch bezüglich a) bzw auch b) da
> ich weiss aus der vorlesung dass die abbildung auf [mm]x^{2}[/mm]
> stetig aber nicht gleiczhm stetig ist. Nurwie beweise ich
> das richig? reicht es ein delta zu finden dass in
> abhängigkeit zu x und y steht
Besser andersrum. Gibt dir ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor, zum Beispiel [mm] \varepsilon=1.
[/mm]
Du willst zeigen [mm] f:\IR\to\IR, x\mapsto x^2 [/mm] ist nicht glm. stetig.
Nimm an, es gibt ein [mm] \delta>0, [/mm] sodass gilt
(*) [mm] |f(x)-f(y)|<1=\varepsilon
[/mm]
für alle [mm] x,y\in\IR [/mm] mit [mm] |x-y|<\delta.
[/mm]
Wähle nun [mm] x,y\in\IR [/mm] (in Abhängigkeit von [mm] \delta), [/mm] sodass (*) einen Widerspruch ergibt.
LG
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