gleichm konv geg. Nullfolge < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
hallo,
ich schaue mir grad ein paar Aufgaben zur Klausurvorbereitung an und komme mit den Begriffen gleichmäßig und punktweise konvergent noch nicht so klar.
Erstmal eine Frage zu folgender aufgabe:
[mm] f_n:[0,1]\to\IR
[/mm]
[mm] f_n(x)=x(1-x)^n
[/mm]
ich soll zeigen, dass [mm] f_n [/mm] gleichmäßig gegen die Nullfolge konvergiert.
Ich weiß, dass die definition für gleichmäßig konvergent wie folgt ist:
[mm] \forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall [/mm] x [mm] \in D_f \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] N : [mm] ||f_n(x)-f(x)||<\varepsilon
[/mm]
Soweit so klar. Jetzt muss ich mir quasi das hier anschauen:
[mm] ||f_n(x)-f(x)||<\varepsilon
[/mm]
Wie gehe ich denn da vor. habe so gar keinen Plan, wie ich an solch eine Aufgabe rangehen soll.
Hoffe ihr könnt mir irgendwie weiterhelfen.
LG Tanzmaus
|
|
| |
|
Hallo Tanzmaus,
> hallo,
> ich schaue mir grad ein paar Aufgaben zur
> Klausurvorbereitung an und komme mit den Begriffen
> gleichmäßig und punktweise konvergent noch nicht so klar.
>
> Erstmal eine Frage zu folgender aufgabe:
> [mm]f_n:[0,1]\to\IR[/mm]
> [mm]f_n(x)=x(1-x)^n[/mm]
> ich soll zeigen, dass [mm]f_n[/mm] gleichmäßig gegen die Nullfolge
> konvergiert.
>
> Ich weiß, dass die definition für gleichmäßig konvergent
> wie folgt ist:
>
> [mm]\forall\varepsilon>0 \exists N\in\IN \forall[/mm] x [mm]\in D_f \forall[/mm]
> n [mm]\ge[/mm] N : [mm]||f_n(x)-f(x)||<\varepsilon[/mm]
>
> Soweit so klar. Jetzt muss ich mir quasi das hier
> anschauen:
> [mm]||f_n(x)-f(x)||<\varepsilon[/mm]
>
> Wie gehe ich denn da vor. habe so gar keinen Plan, wie ich
> an solch eine Aufgabe rangehen soll.
> Hoffe ihr könnt mir irgendwie weiterhelfen.
also wenn man zeigen soll, dass eine Funktionenfolge [mm] f_n [/mm] gleichm. gegen die
Nullfolge konvergiert, dann zeige ich, dass für jedes [mm] n\in\IN [/mm] und
[mm] x\in [/mm] [0,1] (auf Dein Beispiel bezogen) gilt:
[mm] |f_n(x) [/mm] - [mm] \hat0| [/mm] = [mm] |(x(1-x)^n)-0|=|x(1-x)^n|=..= [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Dann ist nämlich [mm] (||f_n [/mm] - [mm] \hat 0||)_{n\in\IN} [/mm] eine Nullfolge und
[mm] (f_n) [/mm] konvergiert daher gleichmäßig (und somit auch punktweise)
gegen [mm] \hat0.
[/mm]
Gruß,
Anna
|
|
|
|
