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| Aufgabe | Untersuche folgende Funktionenfolgen auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz:
a) [mm] f_n [/mm] (x)= [mm] \bruch{x^n-1}{x^n+1} [/mm] , [mm] x\in [0,\infty) [/mm] |
Nabend,
eine Aufgabe zu pktweiser/gleichmäßiger Konvergenz. Grundsätzlich denk ich hab ich das Thema verstanden, ist ziemlich analog zu Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit.
Zur Aufgabe:
1. Ich denke man muss hier Fallunterscheidungen machen oder? ich mein für n [mm] \to \infty [/mm] ist die Grenzfunktion ja f(x)=1 für x > 1 und -1 für x = 0, sowie -1 auch für 0<x<1. Bei x = 1 ist f(x)= 0. Muss man dann echt soviele versch Fälle bearbeiten bei einer von meinen übrigens 8 Aufgaben?^^
also ich bin soweit gekommen:
erstmal für x > 1:
für alle [mm] \varepsilon [/mm] >0 existiert ein [mm] n_0, [/mm] sodass für alle n [mm] \ge n_0 [/mm] gilt, dass
[mm] |f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon.
[/mm]
eingesetzt:
[mm] |\bruch{x^n-1}{x^n+1}-1| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] jetzt erweitert:
[mm] |\bruch{x^n-1}{x^n+1}-\bruch{x^n+1}{x^n+1}| \le \varepsilon
[/mm]
=
[mm] |\bruch{x^n-1-x^n-1}{x^n+1}| \le \varepsilon
[/mm]
[mm] =|\bruch{-2}{x^n+1}| \le \varepsilon
[/mm]
das ist dann wegen Betragstrichen
[mm] \bruch{2}{x^n+1} \le \varepsilon
[/mm]
dann hab ich nochma abgeschätzt:
[mm] \bruch{2}{x^n} \le \varepsilon
[/mm]
und hier komm ich nicht weiter. Ich will ja so umstellen, dass ich ...< n
stehen habe. Wie krieg ich das n aus dem Exponenten raus? gibts da ne trigonometrische Trickumformung oder so?^^
Liebe Grüße,
Eve
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 Mo 16.04.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Eve,
> Untersuche folgende Funktionenfolgen auf punktweise und
> gleichmäßige Konvergenz:
>
> a) [mm]f_n[/mm] (x)= [mm]\bruch{x^n-1}{x^n+1}[/mm] , [mm]x\in [0,\infty)[/mm]
>
> Nabend,
>
> eine Aufgabe zu pktweiser/gleichmäßiger Konvergenz.
> Grundsätzlich denk ich hab ich das Thema verstanden, ist
> ziemlich analog zu Stetigkeit und gleichmäßiger
> Stetigkeit.
naja, es klingt ähnlich. Aber irgendwie ist es doch was ganz anderes: Hier hat man (Funktionen-)Folgen, bei Stetigkeit und glm. Stetigkeit zwar evtl. auch (je nachdem, womit man die Funktion untersucht:Folgenstetigkeit...) - aber man hat bei Untersuchungen zur (glm.) Stetigkeit nur eine Funktion.
> Zur Aufgabe:
>
> 1. Ich denke man muss hier Fallunterscheidungen machen
> oder? ich mein für n [mm]\to \infty[/mm] ist die Grenzfunktion ja
> f(x)=1 für x > 1 und -1 für x = 0, sowie -1 auch für
> 0<x<1. Bei x = 1 ist f(x)= 0. Muss man dann echt soviele
> versch Fälle bearbeiten bei einer von meinen übrigens 8
> Aufgaben?^^
Ja, aber dennoch geht die Aufgabe ab hier schnell (es gibt hier verschiedene Herangehensweisen, wie man vorgehen kann - das hängt auch ein wenig davon ab, was man "erwartet" oder sogar schon weiß - nur noch beweisen muss.)
Hier würde ich so vorgehen:
Ich sehe, dass die Funktionenfolge punktweise konvergiert (Du hast die pktw. Grenzfunktion ja schon angegeben). Es ist klar, dass alle [mm] $f_n\,$ [/mm] stetig sind sind. Wäre die Funktionenfolge also glm. stetig, so müßte die glm. Grenzfunktion, welche aber nur mit der pktw. Grenzfunktion übereinstimmen kann (warum?), nach einem Satz der Analysis dann auch stetig sein. Aber?
Naja, okay, nun zu Deinem Teil der Aufgabe, wo Du noch nachweisen willst, dass die von Dir genannte pktw. Grenzfunktion auch wirklich die pktw. Grenzfunktion ist (das ist auch wichtig, dass Du das beweist - denn ansonsten wäre die Argumentation, dass die Funktionenfolge nicht glm. konvergiert, ja auch nicht griffig!):
> also ich bin soweit gekommen:
> erstmal für x > 1:
> für alle $ [mm] \varepsilon [/mm] $ >0 existiert ein $ [mm] n_0, [/mm] $ sodass für alle
> n $ [mm] \ge n_0 [/mm] $ gilt, dass $ [mm] |f_n(x)-f(x)| \le \varepsilon. [/mm] $
> eingesetzt:
> $ [mm] |\bruch{x^n-1}{x^n+1}-1| [/mm] $ < $ [mm] \varepsilon [/mm] $ jetzt erweitert:
> $ [mm] |\bruch{x^n-1}{x^n+1}-\bruch{x^n+1}{x^n+1}| \le \varepsilon [/mm] $
> =
> $ [mm] |\bruch{x^n-1-x^n-1}{x^n+1}| \le \varepsilon [/mm] $
> $ [mm] =|\bruch{-2}{x^n+1}| \le \varepsilon [/mm] $
> das ist dann wegen Betragstrichen
> $ [mm] \bruch{2}{x^n+1} \le \varepsilon [/mm] $
> dann hab ich nochma abgeschätzt:
> $ [mm] \bruch{2}{x^n} \le \varepsilon [/mm] $
> und hier komm ich nicht weiter. Ich will ja so umstellen, dass ich ...< n
> stehen habe. Wie krieg ich das n aus dem Exponenten raus? gibts da ne > trigonometrische Trickumformung oder so?^^
Na hörmal: Wegen $x > 1$ strebt [mm] $(x^n)_n$ [/mm] gegen [mm] $\infty\,.$ [/mm] (Das kann man mit trivialen Argumenten sogar schnell einsehen: Binomischer Lehrsatz oder auch die Bernoulli-Ungleichung, die hier indirekt auch im bin. Lehrsatz mit drin steckt!)
Diese Begründung ist vollkommen ausreichend - Du musst ja nicht das "kleinste" [mm] $N=N(\varepsilon,x)\,$ [/mm] angeben, ab dem [mm] $|2/x^n|=2/x^n \le \varepsilon$ [/mm] stets ist und bleibt - sondern nur eine Argumentation finden, dass es ein zu dem [mm] $x\,$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ passendes [mm] $N=N(\varepsilon,x) \in \IN$ [/mm] so gibt, dass [mm] $2/x^n \le \varepsilon$ [/mm] für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ folgt.
Das könntest Du natürlich schon:
Denn die Ungleichung oben ist äquivalent zu
[mm] $$2/\varepsilon \le x^n\,,$$
[/mm]
und die Logarithmusfunktion (Log. naturalis) ist streng monoton wachsend, so dass wir die gleichwertige Ungleichung
[mm] $$\ln(2/\varepsilon) \le [/mm] n [mm] \ln [/mm] (x)$$
erhalten (beachte das Rechengesetz [mm] $\ln(a^b)=b\ln(a)$), [/mm] die wir wegen [mm] $\ln(r) [/mm] > 0$ für $r > [mm] 1\,$ [/mm] durch [mm] $\ln(x)$ [/mm] teilen können (und weil wir dann durch eine Zahl $> [mm] 0\,$ [/mm] teilen, bleibt das Ungleichheitszeichen dabei vorhanden und muss nicht rumgedreht werden)...
Aber wie gesagt: Denke nicht ZU kompliziert!
P.S.
Die pktw. Grenzfunktion kann man ein wenig kompakter schreiben:
[mm] $$f(x)=\begin{cases} -1, & \mbox{für } 0 \le x < 1\\ 0, & \mbox{für } x=1 \\ 1, & \text{für }x > 1 \end{cases}\,.$$
[/mm]
P.P.S.
Und mit dem (leicht zu beweisendem) Wissen [mm] $r^n \to [/mm] 0$ für $|r| < [mm] 1\,,$ [/mm] und [mm] $r^n=1 \to [/mm] 1$ für [mm] $r=1\,,$ [/mm] sowie [mm] $r^n \to \infty$ [/mm] für $r > [mm] 1\,$ [/mm] (alles für $r [mm] \in \IR$ [/mm] fest und bei $n [mm] \to \infty$) [/mm] folgt auch schnell mit Rechengesetzen für konvergente Folgen, dass das [mm] $f\,$ [/mm] aus dem P.S. (das hast Du auch so berechnet, nur nicht schön kompakt geschrieben!) auch wirklich die pktw. Grenzfkt. ist - und damit ersparst Du Dir dann die Epsilontechnik... (okay, den Fall $x > [mm] 1\,$ [/mm] müßte man sich schon separat überlegen - oder etwa so vorgehen, wie Du es oben begonnen hattest).
Nachtrag:
Bei Deinen Rechnungen solltest Du ggf. [mm] $\gdw$ [/mm] benutzen (und immer prüfen, dass dann auch beide Folgerungen: 1.) [mm] $\Rightarrow$ [/mm] und 2.) [mm] $\Leftarrow$ [/mm] wirklich gelten)!
Nicht nur eine "Tabelle, wo Du irgendwelche Umformungen betreibst" - dann ist nicht wirklich klar, was Du da treibst, außer eine Aneinanderreihung von Aussagen aufstellen. (Leider ist das auch so eine Unsitte, die man so in der Schule lernt - aber okay: Hier hast Du immer dazugeschrieben, was Du machst, und der mitdenkende Leser sollte selbst sehen, ob Du da vll. Äquivalenzumformungen betreibst!)
Gruß,
Marcel
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