gleichmäßig stetig < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:03 Fr 01.03.2019 | | Autor: | rubi |
| Aufgabe | | Prüfe die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{x}{x^2+1} [/mm] auf gleichmäßige Stetigkeit. |
Hallo zusammen,
gemäß des Schaubildes würde ich eine gleichmäßige Stetigkeit von f unterstellen, da die Steigung der Funktion nicht unendlich groß werden kann.
Meine Prüfung sieht bisher gemäß der Definition der glm. Stetigkeit so aus:
|f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] = [mm] |\bruch{x}{x^2+1}-\bruch{x_0}{x_0^2+1}|
[/mm]
= [mm] |\bruch{x*x_0^2-x_0*x^2+x-x_0}{(x^2+1)(x_0^2+1)}|
[/mm]
[mm] <=\bruch{|x*x_0|*|x-x_0|+|x-x_0|}{(x^2+1)(x_0^2+1)}
[/mm]
Da [mm] |x-x_0| [/mm] < [mm] \delta [/mm] gelten soll schätze ich nun wie folgt ab:
[mm] ...<=\bruch{|x*x_0|*\delta+\delta}{(x^2+1)(x_0^2+1)}
[/mm]
[mm] <=\delta*(1+|x|*|x_0|) [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Nun müsste das [mm] \delta [/mm] unabhängig von x und [mm] x_0 [/mm] und nur von [mm] \varepsilon [/mm] dargestellt werden können, damit glm. Stetigkeit vorliegt.
Kann mir jemand sagen, wie man diese Abschätzung fertigstellt, oder habe ich zwischendurch etwas falsch gemacht ?
Danke für eure Antworten.
Viele Grüße
Rubi
|
|
| |
|
Hallo,
es gilt: Ist $f:[a,b] [mm] \to \IR$ [/mm] stetig und auf $(a,b)$ differenzierbar und die Ableitung $f': (a,b) [mm] \to \IR$ [/mm] beschränkt, so ist $f$ Lipschitz-stetig mit Lipschitzkonstante $L = [mm] \sup_{x \in (a,b)} \vert [/mm] f'(x) [mm] \vert [/mm] $
Weiter gilt: Jede Lipschitzstetige Funktion ist gleichmäßig stetig.
Vielleicht hilft dir das.
LG,
ChopSuey
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:33 Fr 01.03.2019 | | Autor: | rubi |
Hallo ChopSuey,
danke für die Rückmeldung.
Darf ich die Antwort so verstehen, dass ich die glm. Stetigkeit auf meinem Wege gar nicht zeigen kann sondern über die Lipschitzstetigkeit gehen muss ?
Falls die Lipschitzstetigkeit nur der einfachere Weg ist, wäre ich trotzdem dankbar für einen Hinweis, wie ich es mit meiner Methode lösen kann.
Viele Grüße
Rubi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:18 Sa 02.03.2019 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast ja den richtigen Satz schon verwendet_"da die Steigung der Funktion nicht unendlich groß werden kann. " also gib ne Schranke für f' an und benutze [mm] f(x)=f'(x_0)*(x-x_0)+O((x-x_0)^2)
[/mm]
Gruß leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mo 04.03.2019 | | Autor: | fred97 |
> Hallo ChopSuey,
>
> danke für die Rückmeldung.
>
> Darf ich die Antwort so verstehen, dass ich die glm.
> Stetigkeit auf meinem Wege gar nicht zeigen kann sondern
> über die Lipschitzstetigkeit gehen muss ?
Nein, das musst Du nicht.
Mit Deinem Weg bekommst Du , bei obiger Funktion, beides, wenn man sich geschickt anstellt:
Zunächst ist
(*) [mm] $\frac{|x|}{x^2+1} \le \frac{1}{2}$ [/mm] für alle x.
Denn
[mm] $\frac{|x|}{x^2+1} \le \frac{1}{2} \gdw [/mm] 2|x| [mm] \le x^2+1 \gdw [/mm] 0 [mm] \le x^2-2|x|+1=(|x|-1)^2$.
[/mm]
Nun hattest Du
$|f(x) - [mm] f(x_0)| \le \frac{|x-x_0|(|x||x_0|+1)}{(x^2+1))(x_0^2+1)}=|x-x_0|(\frac{|x|}{x^2+1} \cdot \frac{|x_0|}{x_0^2+1}+\frac{1}{(x^2+1)(x_0^2+1)})$.
[/mm]
Wegen [mm] \frac{1}{(x^2+1)(x_0^2+1)} \le [/mm] 1 und (*) bekommen wir
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|(\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} +1)=\frac{5}{4}|x-x_0| [/mm] $.
Einfacher und mit einer besseren Abschätzung geht es, wenn man den Mittelwertsatz anwendet:
Es is $|f'(x)|= [mm] \frac{|1-x^2|}{(x^2+1)^2} \le \frac{x^2+1}{(x^2+1)^2} =\frac{1}{(x^2+1)} \le [/mm] 1.$
Also:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| \le |x-x_0|.$
[/mm]
>
> Falls die Lipschitzstetigkeit nur der einfachere Weg ist,
> wäre ich trotzdem dankbar für einen Hinweis, wie ich es
> mit meiner Methode lösen kann.
>
> Viele Grüße
> Rubi
>
|
|
|
| |
|
Hiho,
> Nun müsste das [mm]\delta[/mm] unabhängig von x und [mm]x_0[/mm] und nur
> von [mm]\varepsilon[/mm] dargestellt werden können, damit glm.
> Stetigkeit vorliegt.
das kann man auch, aber nur bis zu deiner letzten Ungleichung. Dort hast du zu grob abgeschätzt, so dass danach keine Abschätzung mehr zu einer Unabhängigkeit von [mm] x_0 [/mm] und x führt.
Im Allgemeinen ist es nicht immer einfach möglich, einen Ausdruck so abzuschätzen, dass er kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] wird, obwohl es bei glm Stetigkeit ja gehen muss. Manchmal sind alternative Wege da effektiver.
Bei der Aufgabe geht es dennoch recht einfach.
Nehmen wir mal den vorletzten Ausdruck:
[mm] $\bruch{|x\cdot{}x_0|\cdot{}\delta+\delta}{(x^2+1)(x_0^2+1)} [/mm] = [mm] \bruch{|x|}{(x^2+1)}\bruch{|x_0|}{(x_0^2+1)} \delta$
[/mm]
Nun begründe mal, dass der Faktor [mm] $\bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm] beschränkt ist (durch was ist gar nicht so wichtig), indem du [mm] $\lim_{x\to 0} \bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm] und [mm] $\lim_{x\to \infty} \bruch{|x|}{(x^2+1)}$ [/mm] betrachtest.
Warum folgt daraus die Beschränktheit des Ausdrucks?
Und so kannst du das ganz ohne Ableitung etc begründen.
Gruß,
Gono
|
|
|
|
