gleichmäßige Konvergenz < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:31 Mo 08.01.2007 | | Autor: | bobby |
Hallo!
Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:
Gegeben sei die Funktionenfolge [mm] f_{n}(x)=nx(1-x)^{n}, f_{n}:[0,1]\to\IR, n\in\IN. [/mm] Zeigen, dass [mm] f_{n} [/mm] punktweise, aber nicht gleichmäßig konvergiert.
Hab erstmal mit punktweise angefangen:
Sei also x fest, [mm] n\to\infty:
[/mm]
das gibt die Grenzfunktion f(x)=0.
Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich die Ableitung von [mm] f_{n} [/mm] bestimmt:
[mm] f'_{n}=n(1-x)^{n}+n^{2}x(1-x)^{n-1}
[/mm]
Diese muss null gesetzt werden, um diejenigen x zu ermitteln, für die [mm] f_{n} [/mm] maximal wird...
Ab dem Punkt komme ich absolut nicht weiter...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:52 Mo 08.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bobby!
> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen:
>
> Gegeben sei die Funktionenfolge [mm]f_{n}(x)=nx(1-x)^{n}, f_{n}:[0,1]\to\IR, n\in\IN.[/mm]
> Zeigen, dass [mm]f_{n}[/mm] punktweise, aber nicht gleichmäßig
> konvergiert.
>
> Hab erstmal mit punktweise angefangen:
> Sei also x fest, [mm]n\to\infty:[/mm]
> das gibt die Grenzfunktion f(x)=0.
>
> Für die gleichmäßige Konvergenz hab ich die Ableitung von
> [mm]f_{n}[/mm] bestimmt:
> [mm]f'_{n}=n(1-x)^{n}+n^{2}x(1-x)^{n-1}[/mm]
Hier fehlt beim 2. Summanden die innere Ableitung.
> Diese muss null gesetzt werden, um diejenigen x zu
> ermitteln, für die [mm]f_{n}[/mm] maximal wird...
> Ab dem Punkt komme ich absolut nicht weiter...
Die Ableitung kannst du durch Ausklammern in ein Produkt verwandeln und dann die beiden Faktoren untersuchen ...
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Mo 08.01.2007 | | Autor: | bobby |
stimmt, dann ist die Ableitung:
[mm] f'_{n}=n(1-x)^{n}-n^{2}x(1-x)^{n-1}
[/mm]
[mm] =n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)
[/mm]
Setze ich das gleich null folgt aus dem zweiten Faktor:
0=1-x(1+n)
x(1+n)=1
also ist x=1/(1+n)
Der erste Faktor:
[mm] 0=n(1-x)^{n-1}
[/mm]
[mm] 0=(1-x)^{n-1}
[/mm]
das gilt doch nur für x=1.
Aber wieso kann ich daraus dann folgern, dass [mm] f_{n} [/mm] nicht gleichmäßig konvergent ist??
In diesem Fall wäre es das doch nicht, da ich ein x gefunden habe, dass von n abhängt und das bei der glm Konvergenz nicht abhängig von n sein soll, oder???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 Mo 08.01.2007 | | Autor: | statler |
Mahlzeit Bobby!
> stimmt, dann ist die Ableitung:
> [mm]f'_{n}=n(1-x)^{n}-n^{2}x(1-x)^{n-1}[/mm]
> [mm]=n(1-x)^{n-1}(1-x-nx)[/mm]
>
> Setze ich das gleich null folgt aus dem zweiten Faktor:
> 0=1-x(1+n)
> x(1+n)=1
> also ist x=1/(1+n)
Jetzt rechne mal an dieser Stelle den Funktionswert aus und prüf, wie der sich bei wachsendem n verhält. Die Frage ist doch, ob ich den für fast alle n gleichzeitig beliebig nahe an 0 kriege. Und?
> Der erste Faktor:
> [mm]0=n(1-x)^{n-1}[/mm]
> [mm]0=(1-x)^{n-1}[/mm]
> das gilt doch nur für x=1.
>
> Aber wieso kann ich daraus dann folgern, dass [mm]f_{n}[/mm] nicht
> gleichmäßig konvergent ist??
> In diesem Fall wäre es das doch nicht, da ich ein x
> gefunden habe, dass von n abhängt und das bei der glm
> Konvergenz nicht abhängig von n sein soll, oder???
s. o.
Gruß
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mo 08.01.2007 | | Autor: | bobby |
Also, dann bekomm ich das hier:
[mm] f_{n}(1)=0 [/mm] für alle n
[mm] f_{n}(1/(1+n))=(n/(1+n))^{n+1} [/mm] und das konvergiert auch für alle n gegen 0
Aber dann folgt doch daraus jetzt, dass [mm] f_{n} [/mm] gleichmäßig konvergent ist, was es ja nicht sein soll, wo steckt denn da jetzt ein Widerspruch???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:26 Di 09.01.2007 | | Autor: | statler |
Guten Morgen Bobby!
(Fröhlich wollen wir den Tag beginnen!)
> Also, dann bekomm ich das hier:
>
> [mm]f_{n}(1)=0[/mm] für alle n
> [mm]f_{n}(1/(1+n))=(n/(1+n))^{n+1}[/mm] und das konvergiert auch
> für alle n gegen 0
Eben nich! Warum sollte es auch? Es ist doch
[mm] (n/(1+n))^{n+1} [/mm] = (1 - [mm] 1/(1+n))^{n+1}
[/mm]
und jetzt denk mal ganz intensiv daran, wie die Eulersche Zahl entsteht:
e = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (1 + [mm] 1/n)^{n}
[/mm]
Das isses noch nich ganz, aber den Rest trau ich dir jetzt zu.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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