gleichmäßige Konvergenz < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Di 11.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Zunächst mal eine grundsätzliche Frage, wie bringe ich denn die mathematischen Symbole in meine Fragen? Ohne das bin ich ja ganz schöne aufgeschmissen, weil jeder erstmal nachdenken muss, was ich überhaupt meine.
Ich versuche es jetzt trotzdem nochmal ohne die Symbole und hoffe ihr versteht mich irgendwie.
Also es geht um gleichmäßige konvergenz:
Für alle nEN definiere man
fn:[-1, 1] Pfeil nach R durch
fn(x) = Wurzel von x²+1/n
für alle x
Zu beweisen ist, dass (fn) gleichmäßig gegen die Abbildung
abs: R Pfeil nach R
definiert durch abs(x) = |x|
konvergiert.
Anleitung: abs (x) = Wurzel von x² für alle xER
Vielleicht kann man es ja trotzdem verstehen.
Danke schon mal für alle die es mal durchlesen und nicht verzweifeln...
Ich werde mich bessern, Grüße Cathy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Di 11.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine!
Zu den Formeln: https://matheraum.de/mm
Lass uns doch die Aufgabe mal zusammen lösen. Es bringt nicht, wenn wir dir alles vorrechnen. Wir haben ja noch genug Zeit (mehr als zwei Tage), da sollte das gemeinsam zu schaffen sein. 
Zu zeigen ist:
Es gibt für ein beliebig vorgegebenes [mm]\varepsilon>0[/mm] ein nur von [mm]\varepsilon[/mm] abhängiges [mm]n_0 \in \IN[/mm], so dass für alle [mm]x \in [-1,1][/mm] und alle [mm]n \in \IN[/mm], [mm]n \ge n_0[/mm], die Beziehung gilt:
[mm]|\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2}| < \varepsilon[/mm].
Zunächst einmal: Ist dir klar, dass man das zeigen muss?
Das Wichtigste ist ja nun mal, dass du weißt, was zu zeigen ist!! wenn es nicht klar ist, dann schau dir die Definition aus eurer Vorlesung noch einmal an und versuche genau zu verstehen, was gleichmäßige Konvergenz einer Funktionenfolge bedeutet.
Die Aufgabe ist einfach, wenn man Routine hat wie ich und schwierig, wenn man sie nicht hat. Also ist sie für dich schwierig, das ist normal.
Ich gebe dir mal einen Tipp:
Nach der 3. Binomischen Formel gilt:
[mm]\frac{1}{n} = (x^2 + \frac{1}{n}) - x^2 = (\sqrt{x^2+\frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}) \cdot (\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2})[/mm].
Stelle das nach dem um, was du brauchst, also:
[mm]\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2} =\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}}[/mm].
Wie kann man die Abschätzung nun vornehmen? Für welches [mm]x \in [-1,1][/mm] wird die rechte Seite bei beliebigem, aber festem [mm]n \in \IN[/mm] am größten?
Versuche es mal....
Und melde dich möglichst morgen wieder.
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Mi 12.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Julius,
ich wollte nur Bescheid sagen, dass ich mich noch an der Aufgabe versuche, es dauert ein bisschen, weil ich noch das mit der gleichmäßigen Konvergenz noch ein bisschen Probleme habe, aber vielleicht könntest du am Ende, wenn ich fertig bin, mal gucken, ob alles stimmt.
Vielen Dank schon mal für deine Hilfe, Cathy
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:01 Do 13.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hi Julius,
ich muss gleich von Anfang an, alles nachfragen.
Also die Sache mit dem Epsilon und dem [mm] n_0, [/mm] das hat mir schon in Ana 1 bei der Stetigkeit (die wir ja auch gerade wieder benutzen) Probleme gemacht...
Okay, also ich vertehe zunächst mal nicht, warum du das n so wählst???
Gut das nächste verstehe ich dann also das unter der Wuzel und zwischen den Betragstrichen und Epsilon, ich verstehe auch den Zusammenhang mit der Stetigkeit.
(In meinem Buch steht dann noch: Wenn N nur von Epsilon und nicht von x abhängt, so heißt die Folge glichmäßig konvergent... Also das verstehe ich ja mal überhaupt nicht!)
Und bei der Frage nach dem x - ist es da nicht so, dass je kleiner das x ist, desto größer wird der Wert der Funktion.
Muss man eine konkrete Zahl, z.B. x=1 angeben?
Hmmm, ich bin ja richtig weit gekommen !
Gruß Cathy
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Do 13.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Cathy,
Julius hat mich gebeten, die Aufgabe weiter zu bearbeiten.
Ich würde die Aufgabe aber gerne anders lösen:
1.) Für alle $a,b [mm] \ge [/mm] 0$ gilt:
(i) [mm] $\wurzel{a+b} \le \wurzel{a}+\wurzel{b}$ [/mm] (warum?).
Damit kommen wir nun zum Beweis:
Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ gegeben. Dann existiert ein [mm] $N=N_\varepsilon$, [/mm] so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
(*) [mm] $\bruch{1}{\wurzel{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] (warum?)
(Du siehst, dass hier kein $x$ vorkommt, d.h. das [mm]N_\varepsilon[/mm] unabhängig von $x$ gewählt werden kann!)
Aus (*) folgt dann für alle $x [mm] \in \IR, [/mm] n [mm] \ge [/mm] N$:
[mm]\bruch{1}{\wurzel{n}}=\wurzel{x^2}+\wurzel{\bruch{1}{n}}-\wurzel{x^2} < \varepsilon[/mm] und wir können nun (i) auf [mm]\wurzel{x^2}+\wurzel{\bruch{1}{n}}[/mm] anwenden, weil [mm] x^2 \ge 0 [/mm] und [mm]\bruch{1}{n} > 0 [/mm] für alle [mm]n \in \IN, x \in \IR[/mm] gilt.
Also folgt (für alle $n [mm] \ge [/mm] N$):
(**) [mm] | \wurzel{x^2+{\bruch{1}{n}}}-\wurzel{x^2} | [/mm] [mm] = \wurzel{x^2+{\bruch{1}{n}}}-\wurzel{x^2} \le \wurzel{x^2}+\wurzel{\bruch{1}{n}}-\wurzel{x^2} < \varepsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da $f_n(x)=\wurzel{x^2+\bruch{1}{n}$ und $abs(x)=\wurzel{x^2}$ für alle $x \in \IR$ gilt, haben wir also gezeigt:
Für alle $\varepsilon > 0$ und alle $x \in \IR$ existiert ein (wie man sagt: universelles) $N_\varepsilon$ (d.h. dieses $N_\varepsilon$ hängt nicht jeweils von einem konkreten $x$ ab, sondern nur(!!!) von $\varepsilon$), so dass für alle [mm] n \ge N_\varepsilon [/mm] gilt:
[mm] $|f_n(x)-abs(x) [/mm] |$ $< [mm] \varepsilon$ [/mm] (siehe (**)).
Wir haben also sogar gezeigt, dass die Funktionenfolge glm. auf ganz [mm] $\IR$ [/mm] gegen $abs(x)$ konvergiert, da [mm] $abs(x)=\wurzel{x^2}=|x|$ [/mm] gilt. Damit konvergiert sie insbesondere auf $[-1,1]$ glm. gegen $abs(x)$.
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:48 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
schnell noch zu Julius Ansatz:
[mm] \sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} - \sqrt{x^2} =\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}} [/mm]
Was steht denn eigentlich dort? Eigentlich steht dort nix anderes als:
(I) [mm] f_n(x)-abs(x) =\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}} [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Und die rechte Seite wird (bei beliebigem aber festen $n$) maximal, wenn der Nenner minimal wird, d.h. wenn:
$\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}}$ minimal wird. Dies ist für $x=0$ der Fall. Also können wir doch folgende Abschätzung machen:
(II) [mm] f_n(x)-abs(x) =\frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{x^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{x^2}} \le \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{0^2 + \frac{1}{n}} + \sqrt{0^2}}= \frac{\frac{1}{n}}{\sqrt{\frac{1}{n}}} =\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm].
Und gibst du dir nun ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ vor, so findest du ja ein [mm]N=N_\varepsilon[/mm], so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm]
(Warum? Weil du wegen Archimedes ein [mm] $N=N_\varepsilon$ [/mm] findest, so dass für alle $n [mm] \ge [/mm] N$ gilt:
[mm] $\frac{1}{n} [/mm] < [mm] \varepsilon^2$. [/mm]
Weil die Wurzelfunktion monoton wachsend ist, [mm]\sqrt{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}}[/mm] gilt und weil ja [mm]\varepsilon > 0 [/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
ist, folgt für alle $n \ge N$:
$\frac{1}{\sqrt{n}} < \varepsilon$.)
Dann erhältst du mit (II):
$f_n(x)-abs(x) \le {\frac{1}{\sqrt{n}}}} < \varepsilon$ $\forall n \ge N$.
Ich wollte diesen Weg jetzt doch noch vervollständigen 
Ich hoffe, dass Julius dir morgen oder sonst noch die anderen Fragen beantworten kann. Weil ich nun dafür jetzt echt zu müde bin, stell ich wieder auf teilweise beantwortet
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:19 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Julius |
Liebe Cathrine,
nachdem ja Marcel freundlicherweise für mich den Beweis zu Ende geführt hat, hier noch einmal ein paar allgemeine Worte zur Konvergenz:
Den normalen Konvergenzbegriff einer Folge reeller Zahlen ist dir bekannt?
Anschaulich heißt eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] reeller Zahlen konvergent gegen eine reelle Zahl $a$, wenn sich die Folgenglieder ab einem gewissen Glied "sehr nahe" an $a$ befinden. Man kann das so präzisieren: Egal, wie klein ich eine Umgebung um $a$ herum auch immer wähle, ab einem gewissen Folgenglied werden alle weitere Folgenglieder in dieser Umgebung drin liegen.
Eine "epsilon-Umgebung" um $a$ besteht aus der Menge aller Punkte, die von $a$ einen Abstand haben, der kleiner als [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, also:
[mm] $B_{\varepsilon}(a) [/mm] = [mm] \{x \in \IR\, : \, |x-a|<\varepsilon\}$.
[/mm]
Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] heißt konvergent gegen $a$, wenn sie irgendwann mal "für immer" in dieser "epsilon-Umgebung" liegt, egal wie klein ich [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] auch wähle.
Mathematisch: Eine Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] heißt konvergent, wenn es für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] eine natürliche Zahl [mm] $n_0$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \in \IN$, [/mm] $n [mm] \ge n_0$, [/mm] folgendes gilt:
[mm] $|a_n [/mm] - a| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Natürlich kann das [mm] $n_0$ [/mm] von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen. Es gilt (i.A.): Je kleiner [mm] $\varepsilon$ [/mm] ist, desto größer muss ich [mm] $n_0$ [/mm] wählen.
Klar bis dahin?
Jetzt geht es um Funktionenfolgen [mm](f_n)_{n \in \IN}[/mm], also um Folgen, deren Folgenglieder keine reellen Zahlen mehr sind, sondern ganze Funktionen [mm] $f_n [/mm] :D [mm] \to \IR$, [/mm] wobei [mm] $f_n$ [/mm] ein (in der der Regel von $n [mm] \in \IN$ [/mm] unabhängiger, kann man aber auch allgemeiner formulieren) Definitionsbereich ist.
Eine solche Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$ [/mm] heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$, [/mm] wenn die zu jedem $x [mm] \in [/mm] D$ gehörige reelle Zahlenfolge [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}$ [/mm] (im obigen Sinne) konvergent ist. (Denn beachte: Für jedes [mm] $x\in [/mm] D$ ist ja [mm] $f_n(x) \in \IR$, [/mm] d.h. [mm] $(f_n(x))_{n \in \IN}$ [/mm] ist ja eine ganz normale reellen Zahlenfolge, und für die wissen wir ja, was "Konvergenz" bedeutet.)
Sprich (mathematisch):
Eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$, $f_n [/mm] : D [mm] \to \R$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$, [/mm] heißt punktweise konvergent gegen eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$, [/mm] wenn es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] D$ ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] folgendes gilt:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Man sieht: Da man sich ja [mm] $\varepsilon$ [/mm] und $x [mm] \in [/mm] D$ vorgibt, darf das [mm] $n_0$ [/mm] selbstverständlich auch von beidem abhängen. D.h. für jedes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und für jedes $x [mm] \in [/mm] D$ finde ich in der Regel ein anderes [mm] $n_0 [/mm] = [mm] n_0(x,\varepsilon)$.
[/mm]
Bei der gleichmäßigen Konvergent einer Funktionenfolge dagegen fordert man, dass die Wahl von [mm] $n_0$ [/mm] zwar von [mm] $\varepsilon$, [/mm] nicht aber von $x [mm] \in [/mm] D$ abhängen darf. Sprich: Ich muss bei vorgegebenem [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$ ein einheitliches [mm] $n_0$ [/mm] finden, so dass
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] D$
gilt.
Sprich (mathematisch):
Eine Funktionenfolge [mm] $(f_n)_{n \in \IN}$, $f_n [/mm] : D [mm] \to \R$ [/mm] $(n [mm] \in \IN)$, [/mm] heißt gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion $f: D [mm] \to \IR$, [/mm] wenn es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] gibt, so dass für alle $n [mm] \ge n_0$ [/mm] und alle $x [mm] \in [/mm] D$ folgendes gilt:
[mm] $|f_n(x) [/mm] - f(x)| < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Hier darf also [mm] $n_0$ [/mm] nicht von $x$ abhängen. Für alle [mm] $\varepsilon$ [/mm] finde ich ein [mm] $n_0=n_0(\varepsilon)$, [/mm] das für alle $x [mm] \in [/mm] D$ das gleiche sein muss.
Jetzt klarer?
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:24 Fr 14.05.2004 | | Autor: | Cathrine |
Hallo Julius, Hallo Marcel,
vielen Dank an euch beiden, dass ihr mir bei der aufgabe soviel geholfen habt, ich habe mir die Lösungen ausgedruckt und versuche sie jetzt mal anhand von meinem Skript zu verstehen...
Habe aber das Gefühl, dass ich das nie verstehe...
Ich glaube ich werde mir den ganzen Konvergenzbegriff nochmal vornehmen.
Danke ihr Beide!!!!!!!
Cathy
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