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| Aufgabe | | Ist die Folge [mm] f_n(x):=sin(nx) [/mm] auf [-1,1] gleichmäßig konvergent? |
Hallo!
In der Regel kann man ja solche Aufgaben lösen, indem man sich die punktweise Grenzfunktion für [mm] n\to\infty [/mm] anguckt und anschließend für die gleichmäßige Konvergenz die sup-Norm [mm] $\|\cdot \|_{\infty}$ [/mm] betrachtet.
Aber ich weiß nicht, wie ich hier auf die Grenzfunktion f komme. Diese ist doch unendlich oder?
Gruß Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:35 Mo 13.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Patrick
> Ist die Folge [mm]f_n(x):=sin(nx)[/mm] auf [-1,1] gleichmäßig
> konvergent?
>
> In der Regel kann man ja solche Aufgaben lösen, indem man
> sich die punktweise Grenzfunktion für [mm]n\to\infty[/mm] anguckt
> und anschließend für die gleichmäßige Konvergenz die
> sup-Norm [mm]\|\cdot \|_{\infty}[/mm] betrachtet.
Ja.
> Aber ich weiß nicht, wie ich hier auf die Grenzfunktion f
> komme. Diese ist doch unendlich oder?
Unendlich ist sie nicht, da [mm] $f_n(x) \in [/mm] [0, 1]$ ist fuer alle $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $x [mm] \in \IR$.
[/mm]
Jedoch konvergiert die Funktion in keinem $x [mm] \in [/mm] (0, 1]$ punktweise.
Schau dir z.B. $x = [mm] \frac{\pi}{t}$ [/mm] fuer ein passendes $t [mm] \in \IN$ [/mm] an, und dann die Funktionswerte [mm] $f_n(x)$ [/mm] fuer passende unendlich viele $n$. Du wirst sehen, da ist nix mit Konvergenz.
LG Felix
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