gleichmässige Konvergenz < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Mi 19.01.2011 | | Autor: | kalor |
| Aufgabe | | Zeigen Sie folgende Aussage: Sei $\ Y $ ein metrischer Raum mit Metrik $\ d $ und $\ X $ eine Menge. [mm] Y^X [/mm] sei mit der Topologie der gleichmässigen Konvergenz ausgestattet, welche durch die Metrik [mm] d'(f,g) := \sup{\{\overline{d}(f(x),g(x)) | x \in X\}} [/mm] und [mm] \overline{d}(x,y) := min\{d(x,y),1\} [/mm] gegeben ist. Dann gilt: [mm] (f_n)_n [/mm] konvergiert genau dann gleichmässig gegen $\ f : Y [mm] \to [/mm] X $, wenn [mm] (f_n)_n [/mm] in $\ [mm] Y^X [/mm] $ in der Topologie der gleichmässigen Konvergenz gegen $\ f $ konvergiert. |
Liebes Forum!
Ich habe obenstehende Aufgabe und wollte nachfragen, ob meine Lösung korrekt ist.
Konvergiere [mm] (f_n)_n \to f [/mm], d.h. [mm] \forall \epsilon >0 \exists N \in \IN [/mm] so dass [mm] \forall x \in X,n \ge N: d(f_n(x),f(x)) < \epsilon[/mm]. Ich wähle hier das [mm] \epsilon [/mm] genügend klein (kleiner als 1). Dass ist äquivalent zu: [mm] \forall n \ge N \sup{\{d(f_n(x),f(x)) | x \in X\}} < \epsilon [/mm]. Dass bedeutet aber gerade, dass [mm] (f_n)_n \to f [/mm] in der Topologie der gleichmässigen Konvergenz konvergiert.
Die umgekehrte Richtung: Es gelte [mm] (f_n)_n \to f [/mm] in der Topologie der gleichmässigen Konvergenz, d.h: [mm] \forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN [/mm] so dass [mm] \forall n \ge N: d'(f_n,f) < \epsilon [/mm], dass heisst aber gerade: [mm] \forall n \ge N: d'(f_n,f) < \epsilon \gdw \forall n \ge N: \sup{\{d(f_n(x),f(x)) | x \in X\}} < \epsilon [/mm]. Also gleichmässige Konvergenz.
Der Beweis ist nicht schwierig, allerdings kommen viele neue Begriffe auf, daher wollte ich nur kurz nachfragen.
mfg
KaloR
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:46 Di 01.02.2011 | | Autor: | kalor |
Ist meine Lösung so falsch? Wäre nett, wenn mir jemand meine Lösung bestätigen könnte oder sagen was falsch ist. Ich brauche dies für einen Vortrag.
mfg
KaloR
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Di 01.02.2011 | | Autor: | fred97 |
> Zeigen Sie folgende Aussage: Sei [mm]\ Y[/mm] ein metrischer Raum
> mit Metrik [mm]\ d[/mm] und [mm]\ X[/mm] eine Menge. [mm]Y^X[/mm] sei mit der
> Topologie der gleichmässigen Konvergenz ausgestattet,
> welche durch die Metrik [mm]d'(f,g) := \sup{\{\overline{d}(f(x),g(x)) | x \in X\}}[/mm]
> und [mm]\overline{d}(x,y) := min\{d(x,y),1\}[/mm] gegeben ist. Dann
> gilt: [mm](f_n)_n[/mm] konvergiert genau dann gleichmässig gegen [mm]\ f : Y \to X [/mm],
> wenn [mm](f_n)_n[/mm] in [mm]\ Y^X[/mm] in der Topologie der gleichmässigen
> Konvergenz gegen [mm]\ f[/mm] konvergiert.
> Liebes Forum!
>
> Ich habe obenstehende Aufgabe und wollte nachfragen, ob
> meine Lösung korrekt ist.
>
> Konvergiere [mm](f_n)_n \to f [/mm], d.h. [mm]\forall \epsilon >0 \exists N \in \IN[/mm]
> so dass [mm]\forall x \in X,n \ge N: d(f_n(x),f(x)) < \epsilon[/mm].
> Ich wähle hier das [mm]\epsilon[/mm] genügend klein (kleiner als
> 1). Dass ist äquivalent zu: [mm]\forall n \ge N \sup{\{d(f_n(x),f(x)) | x \in X\}} < \epsilon [/mm].
Das stimmt nicht ganz. mach es so:
.... es folgt: [mm]\forall n \ge N \sup{\{d(f_n(x),f(x)) | x \in X\}} \le \epsilon [/mm].
(beachte das [mm] "\le [/mm] ", "<" ist i.a. falsch !)
> Dass bedeutet aber gerade, dass [mm](f_n)_n \to f[/mm] in der
> Topologie der gleichmässigen Konvergenz konvergiert.
> Die umgekehrte Richtung: Es gelte [mm](f_n)_n \to f[/mm] in der
> Topologie der gleichmässigen Konvergenz, d.h: [mm]\forall \epsilon > 0 \exists N \in \IN[/mm]
> so dass [mm]\forall n \ge N: d'(f_n,f) < \epsilon [/mm], dass
> heisst aber gerade: [mm]\forall n \ge N: d'(f_n,f) < \epsilon \gdw \forall n \ge N: \sup{\{d(f_n(x),f(x)) | x \in X\}} < \epsilon [/mm].
> Also gleichmässige Konvergenz.
> Der Beweis ist nicht schwierig, allerdings kommen viele
> neue Begriffe auf, daher wollte ich nur kurz nachfragen.
Sonst ist es O.K.
FRED
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> mfg
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> KaloR
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