gleichmäßige Konvergenz < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:56 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Kueken |
Hallo,
ich habe ein Problem mit einer Aufgabe.
Damit ich das nicht alles abtippen muss, setz ich mal den Link dazu. Hoffe das ist ok. http://www.mathematik.uni-ulm.de/numerik/teaching/ws09/Analysis1/uebungen/uebung12_lsg.pdf
Es geht um Aufgabe 53 ii)
Und zwar um die gleichmäßige Konvergenz. Ich verstehe nicht wieso hier in der Lösung [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] gewählt wird. Also wieso man das bei der Menge M1 darf und es bei der Menge M2 nicht geht. Bin da etwas ratlos...
Wäre toll, wenn mir das jemand erklären könnte :)
Vielen Dank schonmal und Viele Grüße!
Kerstin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:58 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Kueken |
P.S.: Wenn noch jemand eine Seite weiß mit guten Übungsaufgaben und Lösungen zu dem Thema wäre ich extrem dankbar :D
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Moin,
> Und zwar um die gleichmäßige Konvergenz. Ich verstehe
> nicht wieso hier in der Lösung [mm]x_{n}=\bruch{1}{n}[/mm] gewählt
> wird. Also wieso man das bei der Menge M1 darf und es bei
> der Menge M2 nicht geht. Bin da etwas ratlos...
Die Folgenglieder von [mm] x_{n}=\bruch{1}{n} [/mm] liegen alle in [mm] M_1=[0,1]. [/mm] Deswegen darf man diese Punkte bei der Untersuchung auf gleichmäßige Konvergenz auf dem Intervall [mm] M_1 [/mm] betrachten. Die Folge [mm] x_{n} [/mm] liegt jedoch nicht in [mm] M_2=[1,2], [/mm] daher kann sie auf [mm] M_2 [/mm] nicht als Gegenbeispiel angewendet werden.
Wie man dann konkret gleichmäßige Konvergenz auf [mm] M_2 [/mm] zeigen kann, wird dort in der Lösung vorgeführt.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:30 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Kueken |
Dank dir für deine Antwort:
Irgendwie glaub ich, hab ich noch nicht wirklich ganz da durchgeblickt. Klar ist jetzt ich darf 1/n nicht nehmen. Aber ich würde da nie im Leben selbst drauf kommen.
Gibt es da so ein allgemeines Vorgehen?
LG
Kerstin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:12 Sa 06.08.2011 | | Autor: | Blech |
Laß Dir [mm] $f_n$ [/mm] plotten. Zumindest für ein paar n, z.B. n=1, 10, 100. Dann sieht man, daß es bei 0 Probleme geben wird.
Dann ist [mm] $f_n$ [/mm] stetig diffbar. Du kannst das (Absolut-) Maximum ausrechnen, und das ist schließlich für gleichmäßige Konvergenz relevant, denn Du suchst immer das worst-case x, für das [mm] $|f_n(x)-f(x)|$ [/mm] für gegebenes n am größten ist.
Wenn Du mit einer groben Abschätzung wie in der Lösung anfängst, siehst Du, daß das für [mm] $M_2$ [/mm] einfach funktioniert, aber bei $x<<1$ nicht mehr. Das ist auch ein Hinweis, daß man da näher hinschauen muß.
Und schließlich, scharfes Hinschauen bei [mm] $f_n$:
[/mm]
[mm] $f_n(x)=\frac{nx}{1+(nx)^2} [/mm] = [mm] \frac{z}{1+z^2},$
[/mm]
$z=nx$.
n und x treten nur im Paar auf. Wähle z konstant, dann ist [mm] $x_n=\frac [/mm] zn$ eine Folge, für die auch [mm] $f_n(x_n)$ [/mm] konstant bleibt.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:49 Mi 10.08.2011 | | Autor: | Kueken |
Vielen Dank für deine Antwort! :)
LG
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