gleichmässige Stetigkeit sqrtx < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:05 So 07.08.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Zeige oder Widerlege!
[mm] $f:\IR_{+} \Rightarrow \IR [/mm] ; f(x)= [mm] \sqrt{x}$ [/mm]
ist gleichmässig stetig |
Hallo,
also:
[mm] $\forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] \exists \delta [/mm] >0 : [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{y}|< \epsilon \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{y}|\le |\sqrt{x}-\sqrt{y}| | \sqrt{x}+\sqrt{y}| [/mm] = |x-y|< [mm] \delta [/mm] $
Was mache ich mit dem Epsilon? Ich denke schon dass es gleichmässig ist, daher müsste das Delta nur vom Epsilon abhängen und nicht von y.
Danke für jegliche Hilfestellungen!
Gruss
kushkush
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:40 So 07.08.2011 | | Autor: | Teufel |
(war falsch, sorry)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:09 Di 09.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Teufel,
> Die Behauptung stimmt nicht
> Ungleichungskette stimmt nicht
Neue Ungleichungskette um die normale Stetigkeit zu zeigen:
$ [mm] \forall [/mm] x,y [mm] \in \IR_{+}:\ [/mm] \ [mm] |\sqrt{x} [/mm] - [mm] \sqrt{y}| \le \frac{|x-y|}{|\sqrt{x}+\sqrt{y}|}$ [/mm] und mit $| |x|-|y|| [mm] \le [/mm] |x-y | $ folgt auch [mm] $|\sqrt{|x|}-\sqrt{|y|}| \le \sqrt{||x|-|y||}$
[/mm]
mit $|x|=x$ und $|y|=y$ folgt :
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR_{+}: [/mm] \ \ [mm] |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|}$
[/mm]
jetzt folgt die Stetigkeit mit :
[mm] $\forall [/mm] x,y [mm] \in \IR_{+} [/mm] ; [mm] \forall \epsilon [/mm] >0 \ [mm] \exists \delta [/mm] >0: |x-y| < [mm] \delta [/mm] := [mm] \epsilon [/mm] ^{2} [mm] \Rightarrow |\sqrt{x}-\sqrt{y}| \le \sqrt{|x-y|} [/mm] < [mm] \epsilon$
[/mm]
Das [mm] $\delta [/mm] $ darf ja nicht nur abhängig vom [mm] $\epsilon$ [/mm] sein sonst wäre es gleichmässig stetig, also kann hier was nicht stimmen?
> Zeigen kann man das z.B. mit dem Mittelwertsatz. Es gibt immer ein c > zwischen x und y mit Nun nimm mal an, dass es ein gibt, sodass für alle > x,y>0 gilt und guck was passiert, wenn du x und y immer kleiner wählst (was > passiert dann mit c und mit
Dann ist das c auch sehr klein, die Wurzel sehr gross und damit geht $f'(c)$ gegen unendlich.
> Teufel
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
Hallo kushkush,
Deine Ungleichungskette ist schon sehr brauchbar, denn entgegen Teufels behauptung ist [mm] \sqrt{x} [/mm] sehr wohl gleichmäßig stetig.
Zuerst zerlegen wir [mm] \IR_+ [/mm] erstmal in [mm] $[0,1]\cup [1,\infty)$
[/mm]
Die gleichmäßige Stetigkeit auf [0,1] bekommst du geschenkt (warum?), bleibt nur die auf [mm] $[1,\infty)$ [/mm] zu zeigen.
Dafür nimm deine Ungleichungskette und überleg dir mal, wie du [mm] $\bruch{1}{|\sqrt{x} + \sqrt{y}|}$ [/mm] nach oben sehr einfach abschätzen kannst.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:09 Sa 13.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Teufel und Gono.,
> auf [0,1] geschenkt, warum?
Weil jede auf einem kompakten Intervall stetige Funktion dort auch gleichmässig stetig ist ?
> nach oben sehr einfach abschätzen
Ich weiss nicht welche Ungleichungskette dass du meinst! Aber ich nehme an dass du die allererste meinst:
für [mm] $[1,\infty]$ [/mm] durch [mm] $\frac{1}{|\sqrt{x}+\sqrt{y}|} \le [/mm] 1 $
Aber ich verstehe nicht wie ich das weiter verwenden kann.
> MFG
Danke!
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 Sa 13.08.2011 | | Autor: | leduart |
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}|=|\bruch{x-y}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}|<\bruch{\delta}{\wurzel{x}+\wurzel{y}}
[/mm]
für x,y>1 wähle [mm] \epsilon=\delta
[/mm]
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:15 Sa 13.08.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
> wähle delta
Danke
Gruss
kushkush
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 21:37 Di 09.08.2011 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo Teufel,
deine Aussage, dass die Behauptung falsch sei, ist nicht korrekt.
[mm] $\sqrt{x}$ [/mm] ist sehr wohl gleichmäßig stetig.
Die Funktion ist nicht Lipschitz-stetig, gleichmäßig stetig aber sehr wohl.
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 22:41 Di 09.08.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Sorry, ich hab da mächtig was durcheinander gebracht. War wohl etwas zu spät für mich. Gut, dass ihr das noch richtig gestellt habt!
Ich habe kushkush eine Nachrichti geschickt und ihn auf die Änderung hingewiesen.
|
|
|
|
