gleichmäßige stetigkeit < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:10 Sa 19.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
könnt ihr mir sagen wo der unterschied von gleichmäßiger stetigkeit und normaler stetigkeit ist?nur der das bei gl.stetigkeit die funktion auf dem ganzen definitionsbereich stetig ist?
gruß und danke
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> hallo!
> könnt ihr mir sagen wo der unterschied von gleichmäßiger
> stetigkeit und normaler stetigkeit ist?nur der das bei
> gl.stetigkeit die funktion auf dem ganzen
> definitionsbereich stetig ist?
(Gewöhnliche) Stetigkeit von [mm] $f:X\rightarrow \IR$ ($X\subseteq \IR$) [/mm] in ganz $X$ bedeutet, dass es für alle [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und alle [mm] $x_0\in [/mm] X$ ein [mm] $\delta [/mm] >0$ gibt, so dass für alle [mm] $x\in [/mm] X$ aus [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ [/mm] ist. In formaler Kurzschrift:
[mm]\forall \varepsilon>0 \;\blue{\forall x_0\in X} \;\red{\exists \delta >0} \;\forall x\in X\big(|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big)[/mm]
Gleichmässige Stetigkeit, andererseits, bedeutet, dass man das [mm] $\delta$ [/mm] wählen kann, ohne bereits zu wissen, welchs [mm] $x_0$ [/mm] gewählt wurde. In formaler Kurzschrift:
[mm]\forall \varepsilon>0\; \red{\exists \delta >0}\; \blue{\forall x_0\in X}\; \forall x\in X\big(|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big)[/mm]
Dass nun der "für alle [mm] $x_0$" [/mm] Quantor [mm] ($\forall x_0\in [/mm] X$) nach dem "es existiert ein [mm] $\delta [/mm] >0$" Quantor [mm] ($\exists \delta [/mm] >0$) steht, führt dazu, dass gleichmässige Stetigkeit eine stärkere Eigenschaft ist als gewöhnliche Stetigkeit: bei der gewöhnlichen Stetigkeit muss man nur in der Lage sein, ein geeignetes [mm] $\delta [/mm] >0$ angeben zu können, nachdem sowohl [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] gewählt sind; bei der gleichmässigen Stetigkeit muss man jedoch [mm] $\delta [/mm] >0$ alleine aufgrund der Kenntnis von [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] angeben können.
Alle gleichmässig stetigen Funktionen sind stetig, aber die Umkehrung gilt nicht. Ja bereits ein scheinbar so harmloses Funktiönchen wie [mm] $x\mapsto x^2$ [/mm] ist auf [mm] $\IR$ [/mm] schon nicht mehr gleichmässig stetig.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 So 20.01.2008 | | Autor: | mini111 |
Hallo!!!
vielen dank für deine antwort!!also ich habe versucht sie zu verstehen aber es fällt mir sehr schwer da ich diese allgemeinen definitionen meistens nicht so gut verstehe,ich versteh sie meistens erst wenn man sie an hand eines bespiels gesehen hat.würde dir vielleicht so ein bespiel einfallen wenn das nicht zu viel auwand ist?
lieben gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:26 So 20.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo mini,
ich kopiere das hier nochmal dazu:
(Gewöhnliche) Stetigkeit von $ [mm] f:X\rightarrow \IR [/mm] $ ($ [mm] X\subseteq \IR [/mm] $) in ganz X bedeutet, dass es für alle $ [mm] \varepsilon>0 [/mm] $ und alle $ [mm] x_0\in [/mm] X $ ein $ [mm] \delta [/mm] >0 $ gibt, so dass für alle $ [mm] x\in [/mm] X $ aus $ [mm] |x-x_0|<\delta [/mm] $ folgt, dass $ [mm] |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm] $ ist. In formaler Kurzschrift:
$ [mm] \forall \varepsilon>0 \;\blue{\forall x_0\in X} \;\red{\exists \delta >0} \;\forall x\in X\big(|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big) [/mm] $
Am besten schreibt man es vielleicht sogar so:
$ [mm] \forall \varepsilon>0 \;\blue{\forall x_0\in X} \;\red{\exists \delta=\delta_{x_0,\varepsilon} >0} \;\forall x\in X\big(|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big) [/mm] $
Das soll unterstreichen, dass das [mm] $\delta$ [/mm] in Abhängigkeit von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] gewählt werden kann (und i.a. wird es auch von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängen). Hierbei sind, wenn [mm] $\varepsilon$ [/mm] und [mm] $x_0$ [/mm] erstmal gewählt sind, diese fest.
Gleichmässige Stetigkeit, andererseits, bedeutet, dass man das $ [mm] \delta [/mm] $ wählen kann, ohne bereits zu wissen, welchs $ [mm] x_0 [/mm] $ gewählt wurde. In formaler Kurzschrift:
$ [mm] \forall \varepsilon>0\; \red{\exists \delta >0}\; \blue{\forall x_0\in X}\; \forall x\in X\big(|x-x_0|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon\big) [/mm] $
Hier würde ich das so schreiben:
$ [mm] \forall \varepsilon>0\; \red{\exists \delta=\delta_{\varepsilon} >0}\; \blue{\forall x \in X}\; \forall y\in X\big(|x-y|<\delta\Rightarrow |f(x)-f(y)|<\varepsilon\big) [/mm] $
(Ich würde das aus didaktischen Gründen so notieren, weil man bei der anderen Notation in Versuchung gelangen könnte, dass [mm] $x_0$ [/mm] ein fester Punkt sein soll, was hier aber nicht gemeint ist.)
Das heißt, hier ist das [mm] $\delta$ [/mm] einzig und allein von [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängig. Die Punkte $x$ und $y$ können hier beliebig variieren, wenn der Abstand zwischen ihnen nur kleiner als [mm] $\delta$ [/mm] ist, dann ist auch der Abstand der zugehörigen Funktionswerte schon kleiner als [mm] $\varepsilon$.
[/mm]
Als Beispiel:
Versuche mal, zu beweisen, dass $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Du wirst sehen, dass Du zu beliebigen [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ fest und beliebigen, festen [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] ein "passendes" [mm] $\delta$ [/mm] findest. Dieses wird aber von [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon$ [/mm] abhängig sein (man kann die [mm] $x_0$-Abhängigkeit [/mm] nicht "loswerden", denn: Überlege Dir, dass diese Funktion nicht glm. stetig ist. Dazu genügt es schon, sie auf [mm] $\IR_{\ge 0}$ [/mm] zu betrachten. Halte einfach für festes [mm] $\delta [/mm] > 0$ den Abstand von $x$ und $y$ konstant [mm] $\frac{\delta}{2} [/mm] < [mm] \delta$ [/mm] und zeige, dass Du genügend weit in Richtung [mm] $+\infty$ [/mm] mit $x$ und $y$ wandern kannst, so dass der Abstand zwischen den zugehörigen Funktionswerten irgendwann [mm] $\ge 1=:\varepsilon_0$ [/mm] wird).
Und ein triviales Beispiel:
Zeige, dass $x [mm] \mapsto [/mm] x$ (sogar) gleichmäßig stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist.
Ein nicht ganz triviales Beispiel, was auch klappen sollte:
$x [mm] \mapsto \frac{x^2+x}{x^2+2}$
[/mm]
(Wobei ich die letzte Funktion noch nicht genau untersucht habe, aber ich denke, dass das klappen sollte.)
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:26 Mo 21.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo!
ich habe ehrlich gesagt keine ahnung wie ich das machen soll.wenn ich jetzt beispielsweise für x² das versuche mit epsilon zu beweisen steht bei sowas falsches [mm] wie:|4-2|<\delta |16-4|<\varepsilon.ich [/mm] weiß wirklich nicht wie ich das machen soll,ich habe schon mal bei einer aufgabe versucht stetigkeit zu beweisen und hier rein gestellt,kam aber keine antwort,deswegen weiß ich bis heute nicht ob das richtig war.ich würde mich freuen wenn ihr da mal rein schaut.
danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mo 21.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mini,
> ich habe ehrlich gesagt keine ahnung wie ich das machen
> soll.wenn ich jetzt beispielsweise für x² das versuche mit
> epsilon zu beweisen steht bei sowas falsches
> [mm]wie:|4-2|<\delta |16-4|<\varepsilon.ich[/mm] weiß wirklich nicht
> wie ich das machen soll,ich habe schon mal bei einer
> aufgabe versucht stetigkeit zu beweisen und hier rein
> gestellt,kam aber keine antwort,deswegen weiß ich bis heute
> nicht ob das richtig war.ich würde mich freuen wenn ihr da
> mal rein schaut.
> danke
ich habe keine Ahnung, was und wie Du sowas errechnest. Hast Du den Link zu Deinem Post?
Mal zur Stetigkeit von $x [mm] \mapsto f(x)=x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR$:
[/mm]
Es ist zu zeigen, dass, wenn [mm] $x_0$ [/mm] und [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest sind, dass dann ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon, x_0} [/mm] > 0$ existiert, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] gilt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Sei also [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ beliebig, aber fest, und sei [mm] $x_0 \in \IR$ [/mm] beliebig, aber fest.
Betrachten wir zunächst den Fall [mm] $x_0=0$:
[/mm]
In diesem Fall ist zu zeigen:
Zu dem festen [mm] $\varepsilon$ [/mm] gibt es ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0=0} [/mm] > 0$, so dass für alle $x [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|=|x-0|=|x|<\delta$ [/mm] gilt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|=|f(x)-f(0)|=|x^2-0^2|=|x^2| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] gilt.
Um das einzusehen, wählen wir ein $0 < [mm] \delta [/mm] < [mm] \wurzel{\varepsilon}$, [/mm] also z.B. [mm] $\delta=\frac{\wurzel{\varepsilon}}{2}$ [/mm]
Wie sieht es aus, wenn das gegebene [mm] $x_0$ [/mm] von oben [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] erfüllt?
Zunächst machen wir eine Zwischenrechnung:
Es gilt [mm] $f(x)-f(x_0)=x^2-x_0^2=(x-x_0)*(x+x_0)$, [/mm] also auch
[mm] $(\*)$ $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|*|x+x_0|$
[/mm]
Wir müssen also zeigen, dass ein [mm] $\delta=\delta_{\varepsilon,x_0} [/mm] > 0$ so existiert, dass, wenn nur [mm] $|x-x_0| [/mm] < [mm] \delta$, [/mm] dann auch [mm] $|x-x_0|*|x+x_0|<\varepsilon$.
[/mm]
Wenn [mm] $|x-x_0|< \delta$, [/mm] so gilt sicherlich [mm] $|x-x_0|*|x+x_0| [/mm] < [mm] \delta *|x+x_0|$, [/mm] weiterhin gilt die Abschätzung [mm] $|x+x_0| \le |x|+|x_0|$ [/mm] und es gilt für [mm] $|x-x_0|<\delta$, [/mm] dass [mm] $|x|=|x-x_0+x_0| \le |x-x_0|+|x_0| <\delta+|x_0|$.
[/mm]
Also können wir abschätzen:
Ist [mm] $\delta [/mm] > 0$, so gilt für alle [mm] $|x-x_0|<\delta$:
[/mm]
[mm] $|f(x)-f(x_0)|=|x-x_0|*|x+x_0| [/mm] < [mm] \delta *(|x|+|x_0|) [/mm] < [mm] \delta*(\delta+2|x_0|)$
[/mm]
Da ja [mm] $x_0 \not=0$ [/mm] fest ist, ist [mm] $|x_0| [/mm] > 0$ eine feste Zahl und wir können uns darauf beschränken, alle $0 < [mm] \delta \le |x_0|$ [/mm] zu betrachten. Für diese gilt [mm] $\delta+2|x_0| \le [/mm] 3 [mm] |x_0|$. [/mm]
Also folgt aus obiger Abschätzung für alle $0 < [mm] \delta \le |x_0|$, [/mm] wenn [mm] $|x-x_0|<\delta$ [/mm] gilt:
[mm] $|f(x)-f(x_0)| [/mm] < [mm] \delta*(\delta+2|x_0|) \le 3*\delta*|x_0|$.
[/mm]
Wählen wir aus allen $0 < [mm] \delta \le |x_0|$ [/mm] nun ein [mm] $\delta$ [/mm] derart, dass [mm] $3*\delta*|x_0| \le \varepsilon$ [/mm] gilt, so sind wir fertig:
D.h., wir brauchen nur ein [mm] $\delta [/mm] > 0$ so zu wählen, dass die folgenden Abschätzungen gelten:
$0 < [mm] \delta \le |x_0|$ [/mm] und $0 < [mm] \delta \le \frac{\varepsilon}{3|x_0|}$ [/mm] (beachte, dass hier [mm] $|x_0| \not=0$).
[/mm]
Also setzen wir einfach [mm] $\delta=\min \{|x_0|, \frac{\varepsilon}{3|x_0|}\}$ [/mm] und sehen, dass das es tut.
(Ganz kurz - und ohne diese herleitenden Überlegungen explizit auszuführen - ist der Beweis zum Beispiel auch hier auf Seite 91, Beispiel 10.3.2 zu finden (die dort stehende Funktion ist gleich $x [mm] \mapsto x^2$ [/mm] auf [mm] $\IR \backslash \{0\}$):
[/mm]
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf)
Also Ergebnis siehst Du jedenfalls, dass das [mm] $\delta$ [/mm] auch in Abhängigkeit von [mm] $x_0$ [/mm] gewählt wird (was im Falle [mm] $x_0=0$ [/mm] etwas untergeht, aber auch dort der Fall ist, da wir diesen Fall ja speziell betrachtet haben).
Es wäre die Frage, ob wir vielleicht nicht "fein" genug abgeschätzt haben, so dass man bei obiger Funktion mit einer anderen Wahl von [mm] $\delta$, [/mm] so dass das [mm] $\delta$ [/mm] nicht mehr von [mm] $x_0$ [/mm] abhängt, vielleicht sogar zeigen könnte, dass sie glm. stetig auf [mm] $\IR$ [/mm] ist. Ich habe Dir schon eine Begründung geliefert, warum das nicht klappen wird.
Und vielleicht zu der Funktion $x [mm] \mapsto [/mm] f(x)=x$ auf [mm] $\IR$:
[/mm]
Zur Stetigkeit:
Sind dort [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ und [mm] $x_0$ [/mm] fest, so ist zu zeigen:
Wenn man nur [mm] $\delta [/mm] > 0$ so findet, dass aus [mm] $|x-x_0|< \delta$ [/mm] schon folgt, dass [mm] $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$, [/mm] so ist $f$ stetig.
Und wenn [mm] $\delta:=\varepsilon [/mm] > 0$ gesetzt wird, so gilt sogar für alle $x,y [mm] \in \IR$ [/mm] mit [mm] $|x-y|<\delta$, [/mm] dass...
Ein "passendes" [mm] $\delta$ [/mm] kann also sogar unabhängig von [mm] $x_0$ [/mm] gewählt werden, also ist die Funktion sogar...
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:21 Mi 23.01.2008 | | Autor: | mini111 |
hallo marcel!!
danke für deine umfangreiche hilfe,ich denke ich habe es jetzt so mehr oder weniger verstanden;),so fällt mir jetzt keine konkrete frage mehr ein.ich habe lange gebraucht um es zu verstehen,ich finde die vorstellung mit epsilon und alles was dazu gehört,sehr schwer.naja danke und lieben gruß
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