gleichseitiges dreieck < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:28 Do 04.10.2007 | | Autor: | blondi |
| Aufgabe 1 | Aufgabe: Berechne wieso die Höhe des gleichseitigen Dreiecks in 2:1 geteilt ist!
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| Aufgabe 2 | | Berechne wieso die Höhe des gleichseitigen Dreiecks in 2:1 geteilt ist! |
Ich soll mithilfe einer Funktionsgleichung ausrechnen wieso die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks immer in 2:1 geteilt ist. Wie rechnet man das? Meine Lehrerin hat mir ein Ansatz gegeben:
I: x+y=h
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe: Berechne wieso die Höhe des gleichseitigen
> Dreiecks in 2:1 geteilt ist!
> Ich soll mithilfe einer Funktionsgleichung ausrechnen
> wieso die Höhen eines gleichseitigen Dreiecks immer in 2:1
> geteilt ist. Wie rechnet man das? Meine Lehrerin hat mir
> ein Ansatz gegeben:
> I: x+y=h
Hallo,
mit x und y sind die beiden Teilabschnitte der Höhe gemeint.
Wenn Dein gleichseitiges Dreieck die Seitenlänge a hat, kannst Du die Höhe mithilfe des Pythagoras ausrechnen, Du erhältst sie in Abhängikeit von a. (Höhe= Faktor*a)
Wenn Du in Deinem gleichseitigen Dreieck jetzt zwei Höhen einzeichnest, erhältst Du u.a. ein kleines rechtwinkliges Dreick mit den Seiten [mm] x,y,\bruch{a}{4}. [/mm] Hier gilt Pythagoras.
Nun kannst Du z.B. y ersetzen durch h-x=Faktor*a - x und dann y ausrechnen. Anschließend x. Nun sollte die eine Strecke doppelt so lang sein wie die andere.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Fr 05.10.2007 | | Autor: | blondi |
Und wie rechnet man das jetzt ? Ich versteh jetzt nicht wie man das rechnen soll.
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> Und wie rechnet man das jetzt ? Ich versteh jetzt nicht wie
> man das rechnen soll.
Hallo,
welche Gleichungen hast Du denn jetzt dastehen?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:57 Fr 05.10.2007 | | Autor: | blondi |
Naja eigentlich keine das ist ja mein Problem ich versteh nciht wie ich daraus ne Gleichung machen soll
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> Naja eigentlich keine das ist ja mein Problem ich versteh nciht wie ich daraus ne Gleichung machen soll
Hallo,
daß Du jetzt überhaupt nichts dastehen hast, finde ich etwas mager.
Dann fangen wir mal langsam an.
>>> mit x und y sind die beiden Teilabschnitte der Höhe gemeint.
>>> Wenn Dein gleichseitiges Dreieck die Seitenlänge a hat, kannst Du die Höhe mithilfe des Pythagoras ausrechnen,
>>> Du erhältst sie in Abhängikeit von a. (Höhe= Faktor*a)
Hast Du schon versucht, die Höhe auszurechnen? Siehst Du, daß die Höhe die Kathete eines rechtwinkligen Dreieckes ist?
Wie lang sind die anderen Seiten?
Berechne nun mithilfe des Pythagoras die Höhe.
>>> Wenn Du in Deinem gleichseitigen Dreieck jetzt zwei Höhen einzeichnest, erhältst Du u.a. ein kleines
>>> rechtwinkliges Dreick mit den Seiten $ [mm] x,y,\bruch{a}{4}. [/mm] $ Hier gilt Pythagoras.
Hast Du mal zwei Höhen eingezeichnet? Jetzt kennzeichne mal die Strecken, die die Länge x haben, und die, die die Länge y haben.
Siehst Du das kleine rechtwinklige Dreieck, dessen eine Seite x und dessen andere y ist? Wie lang ist die dritte Seite?
Stell den Pythagoras für dieses Dreieck auf.
Wenn Du diese beiden Gleichungen hast, können wir weitersehen. sie sind der Kern.
Gruß v. Angela
>>> Nun kannst Du z.B. y ersetzen durch h-x=Faktor*a - x und dann y ausrechnen.
>>> Anschließend x. Nun sollte die eine Strecke doppelt so lang sein wie die andere.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 Fr 05.10.2007 | | Autor: | blondi |
Also die Gleichung um die Höhe auszurechnen wäre h²+(a/2)²=a² und die Gleichung für das kleine Dreieck wäre y²+(a/2)²=x² nur wie meinen sie es mit der dritten Seite???
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> Also die Gleichung um die Höhe auszurechnen wäre
> h²+(a/2)²=a² und die Gleichung für das kleine Dreieck wäre
> y²+(a/2)²=x²
Ganz genau!
Und aus h²+(a/2)²=a² folgt dann ja [mm] h^2=\bruch{3}{4}a^2, [/mm] also ist [mm] h=\bruch{a}{2}\wurzel{3}.
[/mm]
Überleg' Dir in Ruhe, daß das so ist.
> nur wie meinen sie es mit der dritten Seite???
Wir duzen uns hier alle, und Du darfst und sollst das auch tun, auch wenn ich schon uralt bin.
So. Jetzt ist ja h=x+y, die beiden Abschnitte addiert.
Also ist [mm] h=\bruch{a}{2}\wurzel{3}=x+y [/mm] oder anders [mm] y=\bruch{a}{2}\wurzel{3}-x
[/mm]
Nun kommt einer der Höhepunkte: das setzten wir jetzt in y²+(a/2)²=x² ein und erhalten
[mm] (\bruch{a}{2}\wurzel{3}-x)^2+(a/2)²=x².
[/mm]
Nun hast Du eine Gleichung, in welcher als Unbekannte nur noch x vorkommt. a ist zwar ein Buchstabe, aber er steht für die Seitenlänge, welche wir als bekannt voraussetzen. Behandle in der Rechnung a so, als stünde dort irgendeine Zahl.
Es ist die Gleichung nun nach x aufzulösen. Hierzu berechnest Du am besten erstmal die Klammer mit der binomischen Formel.
Als Ergebnis bekommst Du schließlich x.
Du weißt h-x=y, kannst also mit dem x dann y ausrechnen.
Nun war ja die Frage, ob die Seitenlängen von x und y sich wie 2:1 verhalten. Dazu mußt Du dann nur noch gucken, ob eine doppelt so lang ist wie die andere.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Fr 05.10.2007 | | Autor: | blondi |
Danke für deine Hilfe es hat mir sehr geholfen^^!!!!
Meine Rechnung:
[mm] (a/2\wurzel{3}-x)²+(a/2)²=x²
[/mm]
[mm] (9/2\wurzel{3}-x)(9/2\wurzel{3}-x)+(9/2)²=x²
[/mm]
[mm] (4,5\wurzel{3}-x)(4,5\wurzel{3}-x)+(9/2)²=x²
[/mm]
(7,79-x)(7,79-x)+4,5²=x²
60,68-2*7,79x+x²+20,25=x²
80,93-15,58x+x²=x² |-x²; +15,58x
80,93=15,58x |/15,58
x=5,19
h-x=y
7,79-5,19=y
y=2,6
2,6*2=5,2
Das heißt das Verhältnis ist 1:2
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Hallo blondi, deine rechnung ist zwar prinzipiell richtig, die aufgabenstellung verlangt aber eine allgemeingültige Aussage, du hast dir ja konkret a=9cm gewählt, das ist so nicht möglich:
[mm] (\bruch{a}{2}\wurzel{3}-x)^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}=x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{3a^{2}}{4}-a\wurzel{3}x+x^{2}+(\bruch{a}{2})^{2}=x^{2}
[/mm]
[mm] \bruch{3a^{2}}{4}-a\wurzel{3}x+\bruch{a^{2}}{4}=0
[/mm]
[mm] a\wurzel{3}x=a^{2}
[/mm]
[mm] x=\bruch{a}{\wurzel{3}}=\bruch{a\wurzel{3}}{3}
[/mm]
jetzt hast du noch die Gleichung:
[mm] y=\bruch{a}{2}\wurzel{3}-\bruch{a}{\wurzel{3}}
[/mm]
[mm] y=\bruch{a\wurzel{3}}{2}-\bruch{a\wurzel{3}}{3}
[/mm]
[mm] y=\bruch{3a\wurzel{3}}{6}-\bruch{2a\wurzel{3}}{6}
[/mm]
[mm] y=\bruch{a\wurzel{3}}{6}
[/mm]
somit hast du [mm] x=\bruch{a\wurzel{3}}{3}=\bruch{2a\wurzel{3}}{6} [/mm] und [mm] y=\bruch{a\wurzel{3}}{6}, [/mm] somit ist das Verhältnis 2:1
Steffi
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