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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:50 Do 18.06.2009 | | Autor: | kirikiri |
[mm] x^{3}+6x-20=0
[/mm]
[mm] x_{1}=2, [/mm] habe ich schon herausgefunden.
aber was nun ?!
Grüße,
kiri
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Hallo,
vielleicht kennst du die Polynomdivision - wenn ja, dann kannst du den ersten Abschnitt einfach überspringen  .
Wenn du eine solche Gleichung mit einem Term "in Linearfaktoren" hast, kannst du deine Lösungen direkt ablesen:
[mm](x-2)*(x+3)*(x-8)^2*(x+4)=0[/mm] hat die Lösungen 2, -3, 8 und -4 (denn ein Produkt gibt genau dann 0, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist).
Das gilt natürlich auch, wenn es nicht nur solche "linearen" Terme sind:
[mm](x^2+3x+2)*(x-4)*(x^3+x^2)=0[/mm]
Da kann man die Lösungen nicht alle direkt ablesen, nur beim linearen Term x-4 geht das. ABER wenn man das ausmultipliziert hast du eine Gleichung mit [mm] x^6, [/mm] die sich nicht so gut lösen lässt. Denn hier kannst du jetzt sagen, dass die Gleichung dann gelöst wird, wenn eine der Klammern 0 wird, also sind die Lösungen von [mm](x^2+3x+2) = 0[/mm] und [mm]x^3+x^2=0[/mm] zusammen mit der 4 (von der anderen Klammer) die Lösungen deiner Gleichung.
Andersrum: Wenn du jetzt schon eine Lösung deiner Gleichung kennst, dann MUSS es einen Linearfaktor geben, der zu der Lösung passt, d.h. in deinem Fall (x-2). Du weißt also, dass die linke Seite deiner Gleichung diesen Faktor beinhalten muss:
[mm]x^3+6x-20 = (x-2)*(?????)[/mm]
Um diese Lücke zu füllen, benutzt man nun (häufig) das Verfahren der Polynomdivision (oder wenn ihr es benutzt habt, das Horner-Schema). Denn was da jetzt steht, ist eine klassische "Divisionsaufgabe": "Welche Zahl muss ich mit 3 multiplizieren, damit 18 heraus kommt?" [mm] \rightarrow [/mm] Du rechnest 18:3 und bekommst das Ergebnis.
Ich erkläre es jetzt mal schrittweise:
Auf der linken Seite steht ein [mm] x^3, [/mm] d.h. in der gesuchten Klammer muss ein [mm] x^2 [/mm] stehen, also [mm](x-2)*(x^2 \pm ....)[/mm]
Damit hast du das [mm] x^3 [/mm] verarztet und kannst weitermachen. Auf der rechten Seite hast du dir aber jetzt noch ein [mm]-2*x^2[/mm] eingebrockt, wenn du das ausmultiplizierst. Auf der linken Seite steht aber garkeins, d.h. in der Klammer muss jetzt etwas kommen, so dass beim Ausmultiplizieren noch ein [mm]+2*x^2[/mm] entsteht. Dazu muss als nächstes ein +2x folgen, also:
[mm](x-2)*(x^2+2x \pm ...)[/mm]
Wenn du das jetzt ausmultplizierst (so als Zwischenfazit), bekommst du:
[mm]x^3-2*x^2+2*x^2-4x=x^3-4x[/mm].
Jetzt passen also die -4x nicht, denn es müssen 6x sein. Also muss jetzt in der Klammer etwas folgen, so dass noch ein +10x entsteht (-4x+10x=6x):
[mm](x-2)*(x^2+2x+10)[/mm]
Das hast du jetzt also so ausgerechnet, dass das auf alle Fälle mit deinen [mm] x^3,x^2 [/mm] und x im eigentlichen Term übereinstimmen. Du weißt noch nicht, ob auch die -20 stimmen ABER wenn die Zahl vom Anfang wirklich eine Lösung ist, dann MUSS es jetzt auch passen. Hier stimmt es.
So hast du jetzt das Problem reduziert auf eine quadratische Gleichung, von der sich die Lösungen leicht berechnen lassen.
Das war jetzt nicht das formal korrekte Aufschreiben der Division, aber die Rechenschritte, die dahinter stecken. Wenn ihr das Verfahren noch nicht kennt, werdet ihr es vermutlich noch besprechen, wenn doch, dann erinnerst du dich bestimmt jetzt wieder .
Gruß,
weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:04 Do 18.06.2009 | | Autor: | kirikiri |
Hi
absolut. jetzt erinnere ich mich wieder. liegt ja auf der hand! danke!
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