gleichung lösen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:00 Di 18.03.2008 | | Autor: | helftmir |
| Aufgabe | | Löse [mm] 4x^3-9x²+4 [/mm] nach x auf! |
Keine Ahnung, wie ich die Gleichung lösen soll... p/q formel geht hier ja nicht oder?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 18.03.2008 | | Autor: | helftmir |
ehrlich gesagt, kann ich dir ab der Polynomdivision nicht mehr folgen... Kann dass bitte jemand etwas genauer erklären:)
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Deine Aufgabe, nach x aufzulösen heißt ja nichts anderes, als die Lösungen der Gleichung herauszufinden.
Ab einem Polynom dritten Grades kann man die Lösungen aber nicht mehr so einfach bestimmen; man muss gewisse "Tricks" anwenden, zum Beispiel Lösungen raten. Eine Möglichkeit, Lösungen zu raten ist sich das Absolutglied, den Summanden ohne x, anzusehen. Eine der Lösungen ist meistens Teiler des Absolutgliedes. Am Anfang war dein Absolutglied 4, also kommen in Frage:
[mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2 und [mm] \pm [/mm] 4.
Durch Probieren findest du dann x = 2 als Lösung heraus. Nun wissen wir Folgendes: Ein Polynom mit einer Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] (hier 2) lässt sich folgendermaßen umformen:
Polynom mit Nullstelle [mm] x_{0} [/mm] = (x - [mm] x_{0})*(Restliches [/mm] Polynom).
Dies erscheint einleutend: Setze ich ins Anfangspolynom [mm] x_{0} [/mm] für x ein, erhalte ich 0. Beim rechten Polynom setze ich für x [mm] x_{0} [/mm] ein und erhalte garantiert auch 0, weil ja der erste Faktor 0 wird. Dazu kannst du dir mal den
![[]](/images/popup.gif) Satz von Vieta
ansehen 
Aber zurück zur Aufgabe. Wir wissen also, dass wir solch einen Linearfaktor ausklammern können, d.h. aber wir müssen noch das Restpolynom bestimmen (also was bleibt übrig, wenn ich diesen Linearfaktor ausklammere?)
Dazu führt man Polynomdivision mit dem Ausgangspolynom und dem Linearfaktor [mm](x - x_{0}) = (x - 2)[/mm] durch:
[mm](4x^{3}-9x^{2}+4) : (x - 2)[/mm]
Und eigentlich denke ich, dass du Polynomdivision schon gehabt hast, hier nur die ersten paar Schritte:
(*) Mit was muss man den Linearfaktor ("Nenner") multiplizieren, damit ich das höchste Polynom vom Zähler [bzw. dem jeweiligen Rest], [mm] (4x^{3}-9x^{2}+4) [/mm] genau erreiche? [mm] \to [/mm] mit [mm] 4*x^{2}.
[/mm]
Also ist
[mm](4x^{3}-9x^{2}+4) : (x - 2) = 4*x^{2} + ...[/mm]
Nun müssen wir wie bei der schriftlichen Division auswerten, was noch vom Zähler übrigbleibt: Was kommt denn raus, wenn ich [mm] 4*x^{2} [/mm] wirklich mal (x-2) rechne?:
[mm]4*x^{2} * (x-2) = 4*x^{3} - 8*x^{2}[/mm]
Das wird jetzt als Rest unter den Zähler geschrieben und abgezogen:
[mm](4x^{3}-9x^{2}+4) : (x - 2) = 4*x^{2} + ...[/mm]
[mm]-(4*x^{3} - 8*x^{2})[/mm]
-------------------------
[mm]-x^{2}+4[/mm]
Das ist dann der neue "Zähler".
Und ein geübtes Auge sieht nun schon, dass das eine binomische Formel ist, aber probier selbst weiter (du musst jetzt wieder von vorn anfangen, bei (*)!)
Nach dem Durchführen der Polynomdivision erhältst du eine quadratische Funktion, die du mit p/q-Formel lösen kannst. Damit erhältst du dann die restlichen zwei Nullstellen des Anfangspolynoms.
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