gleichung mit komplexer zahl < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:33 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Gwin |
| Aufgabe | bestimmen sie alle lösungsmengen der gleichung:
[mm] x^{3}(1+i)-1+i=0 [/mm] |
hallo zusammen...
irgendwie mache ich beim lösen dieser aufgabe anscheinend immer den gleichen fehler...
hier mal mein lösungsweg...
[mm] x^{3}(1+i)-1+i=0
[/mm]
[mm] x^{3}(1+i)=1-i
[/mm]
[mm] x^{3}= \bruch{1-i}{1+i}
[/mm]
[mm] x^{3}= \bruch{(1-i)(1-i)}{(1+i)(1-i)}
[/mm]
[mm] x^{3}= \bruch{1-i-i+i^{2}}{1^{2}-1^{2}*i^{2}}
[/mm]
[mm] x^{3}= \bruch{-2i}{2}
[/mm]
[mm] x^{3}= [/mm] -i
x= [mm] \wurzel[3]{-i}= \wurzel[3]{0-1i}
[/mm]
r= [mm] \wurzel{0^{2}+1^{2}}=1
[/mm]
[mm] \alpha=atan( \bruch{-1}{0})=-45°
[/mm]
[mm] \wurzel[3]{0-1i}= \wurzel[3]{1}*(cos( \bruch{-45°+k*360°}{3})+i*sin( \bruch{-45°+k*360°}{3}))
[/mm]
k=0: [mm] x_{1}=0,9659-0,2588*i
[/mm]
k=1: [mm] x_{2}=-0,25588+0,9659*i
[/mm]
k=2: [mm] x_{3}=-0,7071-0,7071*i
[/mm]
wenn ich jetzt die lösungen für x in die ausgangsgleichung einsetze kommt nicht 0 raus...
könnte mir hier jemand helfen und mir sagen wo ich mein fehler mache?
vielen dank schon mal im vorraus...
mfg Gwin
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Hallo Gwin!
Zeichne Dir die komplexe Zahl $z \ = \ -i$ mal in ein Koordinatenkreuz ... dann siehst Du schnell, dass Dein errechneter Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] nicht stimmt.
Es gilt: [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] -\red{90}° [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{\pi}{2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Gwin |
hi roadrunner...
jetzt wo du es sagst ist es doch einleuchtend das der winkel -90° sein muß...
aber normalerweise rechne ich doch den winkel [mm] \alpha [/mm] aus indem ich den atan(Im/Re) nehme odert nicht? warum klappt das in diesem fall nicht?
(ich verstehe das der winkel -90° sein muß mich würde nur interessieren warum es hier nicht über den atan geht)
mfg Gwin
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Hallo Gwin!
Setzen wir doch mal formal ein: [mm] $\alpha [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left[\bruch{Im(z)}{Re(z)}\right] [/mm] \ = \ [mm] \arctan\left(\bruch{-1}{0}\right) [/mm] \ = \ [mm] \arctan(-\infty)$
[/mm]
Der Winkel [mm] $\alpha$ [/mm] muss also einen Wert haben, an welchem [mm] $\tan(\alpha)$ [/mm] nicht definiert ist.
Das ist im negativen Bereich halt $-90° \ [mm] \hat= [/mm] \ +270°$ .
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Gwin |
gmpf ja 1/0 ist nicht 1 sondern [mm] \infty [/mm] alles klar...
vielen dank und einen schönen abend noch
mfg Gwin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:55 Mi 26.07.2006 | | Autor: | dump_0 |
Du schreibst leider nicht aus welchem Zahlenbereich dein [mm] x^3 [/mm] kommt. Kann es vielleicht auch sein das dein [mm] x^3 [/mm] eine komplexe Zahl sein soll?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Gwin |
hi [mm] dump_0...
[/mm]
der wertebereich ist nicht vorgegeben...
habe den original aufgabentext abgeschrieben ohne euch etwas zu unterschlagen :)...
mfg Gwin
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