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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Mo 19.04.2004 | | Autor: | bastih |
der unterschied zwischen einer Funktionsgleichung und einer Bestimmungsgleichung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mo 19.04.2004 | | Autor: | Emily |
Eine Best. Gleichung liefert i.a. 1, keine, oder mehrere Lösungen.
Beisp.: [mm] x^2 [/mm] +1 = 0 (keine)
[mm] x^2-x [/mm] -2 = 0 L = {-1, 2}
x+1=1+x L = D
Eine Funkt. Gleichung ist i. a. eine Beziehung zwischen zwei Variablen.
Beisp.: f(x) = [mm] x^2 [/mm] + 1 (Graph: Parabel)
f(x) = 2x -1 (Graph: Gerade)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mo 19.04.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo bastih,
willkommen im MatheRaum  !
> der unterschied zwischen einer Funktionsgleichung und einer
> Bestimmungsgleichung
Ich mußte auch erst nachsehen, was genau mit einer "Bestimmungsgleichung" gemeint ist. Im Schüler-Duden Mathematik steht sinngemäß, dass eine Bestimmungsgleichung eine Gleichung ist, die mindestens eine Lösung, aber nicht die gesamte Grundmenge als Lösung hat.
Ich verdeutliche das mal an ein paar Beispielen:
Beispiel 1: [mm] $x^2=1$, [/mm] Grundmenge [mm] $\IG=\IR$ [/mm] (alle reellen Zahlen)
Lösung: [mm] $\IL=\{-1,1\}$
[/mm]
Dies ist also eine Bestimmungsgleichung, denn [mm] $\IL\neq\{\}$ [/mm] und [mm] $\IL\neq\IG$.
[/mm]
Beispiel 2: $x+1=x+1$, [mm] $\IG=\IR$
[/mm]
Lösung: [mm] $\IL=\IG$
[/mm]
Dies ist also keine Bestimmungsgleichung, denn [mm] $\IL=\IG$.
[/mm]
Beispiel 3: $x+1=x-1$, [mm] $\IG=\IR$
[/mm]
Lösung: [mm] $\IL=\{\}$
[/mm]
Dies ist auch keine Bestimmungsgleichung, denn [mm] $\IL=\{\}$.
[/mm]
Jetzt verstehe ich auch, woher der Name "Bestimmungsgleichung" rührt:
Mit einer derartigen Gleichung werden bestimmte Werte für eine Variable (hier $x$) festgelegt.
Statt also zu schreiben [mm] $x\in\{1,2,3\}$ [/mm] könnte man dasselbe durch eine Bestimmungsgleichung ausdrücken: $(x-1)(x-2)(x-3)=0$.
Übrigens steht im Schülerduden noch, dass solche Gleichungen auch teilgültig oder erfüllbar heißen, und die Namen Bestimmungsgleichung oder Bedingungsgleichung oder lösbare Gleichung ältere Bezeichnungen sind.
Nun zu dem Begriff "Funktionsgleichung".
Eine Funktionsgleichung ist nach obiger Definition ebenfalls eine Bestimmungsgleichung.
Hat man beispielsweise eine Funktion
[mm]\begin{matrix}
f: & A & \to & B \\
& x & \mapsto & y=f(x)
\end{matrix}[/mm]
dann lautet die zugehörige Bestimmungsgleichung
$y=f(x)$, [mm] $\IG=A\times [/mm] B$
mit der Lösungsmenge
[mm] $G_f=\left\{ (x,y)\in A\times B\;\;|\;\;y=f(x) \right\}
[/mm]
Diese Lösungsmenge [mm] $G_f$ [/mm] heißt übrigens auch (bzw. "ist besser bekannt als") "Graph von $f$".
Auch hierzu ein Beispiel:
[mm]\begin{matrix}
f: & \IR & \to & \IR^+_0 \\
& x & \mapsto & y=x^2
\end{matrix}[/mm]
Zugehörige Bestimmungsgleichung
[mm] $y=x^2$, $\IG=\IR\times \IR^+_0$ [/mm]
Lösungsmenge
[mm] $G_f=\left\{ (x,y)\in \IR\times \IR^+_0;\;|\;\;y=x^2 \right\}
[/mm]
In [mm] $G_f$ [/mm] liegen also alle Punkte, die du zum Zeichnen des Graphen in ein Koordinatensystem eintragen müßtest.
(Zum Beispiel liegen die Punkte [mm] $(1,1),(2,4),(3,9),(-5,25)\in G_f$.
[/mm]
Bei weiteren Fragen melde dich bitte einfach wieder!
Alles Gute,
Marc
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