globale Extrema < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:46 Mo 12.02.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Gegeben sie die Funktion [mm] f(x,y,z)=x^2 [/mm] + [mm] 3y^2 [/mm] + [mm] 2z^2.
[/mm]
Bestimmen Sie die lokalen und globalen Extrema von f unter Einhaltung der Nebenbedingungen
4x +12y =-80 und 6y +12z=120. |
moin,
die frage ist wie kann ich bei funktionen mit mehreren variablen entscheiden, ob ein relatives extremum auch ein globales extremum ist oder nicht???
Ansatz nach Lagrange:
L(x,y,z, [mm] \lambda_{1} [/mm] , [mm] \lambda_{2} [/mm] )= [mm] x^2 +3y^2 +2z^2 [/mm] + [mm] \lambda_{1}(x+3y+20) [/mm] + [mm] \lambda_{2} [/mm] (y+2z-20)
die partiellen Ableitungen:
L'(x)= 2x [mm] +\lambda_{1}
[/mm]
L'(y)= 6y [mm] +3*\lambda_{1} +\lambda_{2}
[/mm]
L'(z)= 4z [mm] +2*\lambda_{2}
[/mm]
[mm] L'(\lambda_{1})= [/mm] x +3y +20
[mm] L'(\lambda_{2})= [/mm] y +2z -20
die setze ich alle gleich null und forme um; ergebnis:
es gibt genau eine stationäre stelle
x=-8; y=-4; z=12.
Zweitens. Hesse-Matrix mit den zweiten partiellen Ableitungen...
[mm] \pmat{ 3 & -3 & 1\\ 1 & 3 & 0 \\0 & 1 & 2}
[/mm]
det(A3)= 18+ 0+1 -0 -0 - (-6)= 25
det(A2)= 9 - (-3) = 12
det(A1)= 3
d.h. die Matrix ist positiv definit. es liegt also ein Minimum vor.
ist das auch ein globales Minimum?
Woran erkenne ich, falls die stationäre Stelle ein globales Minimum bzw.ein globales Maximum ist?
vielen dank für eure hilfe!
wolfgang
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:54 Mo 12.02.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Hase
Oft muss man die Hessematrix gar nicht betrachten. Du berechnest mit Lagrange die kritischen Punkte. Betrachte jetzt die Funktion [mm] $f(x,y,z)=x^2+3y^2+2z^2$. [/mm] Die Funktion strebt für [mm] $r=\sqrt(x^2+y^2+z^2)\to\infty$ [/mm] gegen unendlich. Da die Funkton überall differenzierbar ist, und nur einen kritischen Punkt besitzt, muss dieser das globale Minimum sein.
Dass gilt auch für die Funktion mit den Nebenbedingungen, falls sich die Einschränkungen auf die Nebenbedingungen trotzdem beliebig grosse Werte von $r$ ergeben. Dies ist hier der Fall, da man y beliebig gross wählen kann und die beiden Nebenbedingungen für ein gegebenes y nach x rsp. z auflösen kann. Die Funktion eingeschränkt auf die Nebendbedingunge besitzt beliebig grosse Werte, besitzt aber nur einen kritischen Punkt, dann muss dieser Punkt das globale Minimum der Funktion eingeschränkt auf die Nebenbedingungen sein.
mfG Moudi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:53 Fr 02.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Moin!
in diesem Zusammenhang habe noch eine Frage zum Thema geränderte Hesse-Matrix.
Bei obiger Aufgabe habe ich jetzt als Hesse-Matrix der zweiten partiellen Ableitungen:
[mm] \pmat{ 2 & 0 &0\\ 0 & 6 & 0 \\ 0& 0& 4}
[/mm]
Ich hoffe, dass dies jetzt richtig ist?!
Ok, ich kann dann in diesem Fall auf die geränderte Hesse-Matrix verzichten, da die gemischten 2. partiellen Ableitungen alle gleich null sind. Und das Extremum aufgrund von
[mm] \bruch{\partial^2 L}{\partial x^2} [/mm] =2 > 0 [mm] \wedge [/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 L}{\partial y^2} [/mm] =6 > 0 [mm] \wedge [/mm]
[mm] \bruch{\partial^2 L}{\partial z^2} [/mm] =4 > 0
=> Minimum an dem oben bestimmten stationären punkt (x=-8; y=-4; z=12).
was ja dann hier auch das globale minimum ist.
Aber was mache ich, wenn die gemischten partiellen 2. Ableitungen nicht alle gleich null sind?
Wie rändere ich die entsprechende Hesse-Matrix bei zwei Nebenbedingungen?
|
moin,
wieder eine aufgabe aus dem bereich wirtschaftswissenschaften. wie gesagt, es könnte ja auch eine aufgabe drankommen, bei der die gemischten 2. Ableitungen nicht alle gleich null sind. was dann?
wie kann ich die entsprechende Hesse-Matrix bei zwei Nebenbedingungen rändern?
bei einer nebenbedingung [g: [mm] \lamdba [/mm] = 4x1+12x2+80 ] sähe es für die aufgabe ja so aus:
[mm] \pmat{ 0 & \bruch{\partial g}{\partial x} &\bruch{\partial g}{\partial y} & \bruch{\partial g}{\partial z}\\ \bruch{\partial g}{\partial x} & 2 & 0 & 0 \\ \bruch{\partial g}{\partial y} & 0& 6 &0 \\\bruch{\partial g}{\partial z} & 0 & 0 & 4}
[/mm]
vielen dank für eure hilfe!
gruß
wolfgang
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 06.03.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
| |
|
Wenn irgendwo der Satz "mit Kanonen auf Spatzen geschossen" stimmt, dann hier. Was soll denn dieser ganze Unsinn mit partiellen Ableitungen, Hesse-Matrix und Pipapo? Die Funktion ist quadratisch, die Nebenbedingung eine Gerade! Da wirkt doch das ganze Brimborium dermaßen aufgesetzt ...
Mit einem Parameter [mm]t[/mm] lautet die Gerade, wenn man [mm]y = 2t[/mm] setzt:
[mm]4x + 12y = -80 \ \ \wedge \ \ 6y + 12 z = 120 \ \ \ \Leftrightarrow \ \ \ x = -20 - 6t \, , \ y = 2t \, , \ z = 10 - t[/mm]
Und jetzt nur noch einsetzen:
[mm]w = x^2 +3y^2 +2z^2 = \left( -20 - 6t \right)^2 + 3 \left( 2t \right)^2 + 2 \left( 10 - t \right)^2 = 50 \cdot \left( t^2 + 4t +12 \right) = 50 \left( (t+2)^2 + 8 \right)[/mm]
Minimum für [mm]t=-2[/mm], also bei [mm]x = -8 \, , \ y = -4 \, , \ z = 12[/mm], mit Wert [mm]w = 400[/mm].
Das war's.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:58 Mo 05.03.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin leopold,
zunächst danke für deinen beitrag!
ich würde dir zustimmen, dass die ganzen wissenschaften, wie hier die wirtschaftswissenschaften, viel zu sehr mathematisiert sind. wozu?
das ändert aber leider nichts an der frage, wie die geränderte hesse-matrix mit zwei nebenbedingungen aussehen müsste. da habe ich weder im internet noch in entsprechenden lehrbüchern etwas gefunden.
vielleicht macht man es mathematisch "etwas" leichter, damit auch nicht-mathematiker eine chance haben, die lösungsmuster kennenzulernen.
wie auch immer, wie gesagt, finde vieles in den wissenschaften deutlich übermathematisiert. wie sagte einstein: man kann die ganze physik auch ohne formeln erklären.
lg an alle!
wolfgang
|
|
|
|
