graph einer parabel bestimmen < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:03 So 18.09.2011 | | Autor: | Niete |
| Aufgabe 1 | Bestimme die Funktionsgleichung der Funktion f. a) der graph von f verläuft durch die Punkte A(0/3), B(-1/6), und C(2/3)
fx= |
| Aufgabe 2 | Der Graph von f verläuft durch die Punkte A(6/3), B(0/-9) und C(1/3).
fx= |
Mir ist nicht klar, wie die Funktion rechnerisch bestimmen soll, da man den Schnittpunkt ja nicht ablesen kann, ohne das zu zeichnen, und selbst wenn, kann man ihn j abei Aufgabe 2 nicht bestimmen! Ich verzweifle seit einer Stunde an dieser Aufgabe und bin immernoch nicht weitergekommen!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:10 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
BSetze die drei gegebene Punkt in die allgemeine Gleichung ein, und bestimme dann die Parameter aus dem entstehenden linearen Gleichungssystems:
Also in a)
Gegeben sind: A(0/3), B(-1/6), und C(2/3) und f(x)=ax²+bx+c
Also:
$ [mm] f(0)=3\Rightarrow [/mm] c=3 $
$ f(-1)=6 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b+c=6 $
$ f(2)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 4a+2b+c=3 $
Löst man dieses Gleichungssystem (normalerweise nimmt man den Gauß-Algorithmus, hier gehen auch andere Verfahren, da direckt c=3 ablesbar ist) ergibt sich a=a, b=-2 und c=3, also bekoomst du die Parabel:
f(x)=x²-3x+3
Aufgabe b) versuche nun mal selber.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:26 So 18.09.2011 | | Autor: | Niete |
Formt man das in die scheitelpunktsform um, erhält man
fx=(x-1.5)² + 0.75
Zeichnet man nun alle gegebenen Punkte in ein Koordinatensystem, ergibt sich keine Normalparabel, weshalb die Gleichung ja nicht stimmen kann. Mein Mathelehrer erhielt das ergebnis fx=(x-1)²+2, was sich ja auch nicht deckt.
Da ich noch keine Algiorythmen durchgenommen habe, kann ich deinen Lösungsvorschlag leider gar nicht nachvollziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 So 18.09.2011 | | Autor: | Niete |
> Doch, f(x)=(x-1)²+2 passt.
> Zeig mal deine Rechnung.
fX= x² -3x+3 +2.25 -2.25
= (x-1.5)²+0.75
> Ihr habt sicherlich schon Gleichungssysteme mit diversen
> Verfahren gelöst, hier hast du auch die Möglichkeit,
> andere Verfahren zu nehmen.
> In der 11. Klasse sollte das kein großes Problem
> darstellen, aus den drei gegebenen Gleichungen die
> Parameter zu bestimmen.
Lach mich nicht aus, aber ich weiß nicht, was ein Parameter ist, und ich bin G8, also eigentlich erst in der 10.Klasse.
für die b) habe ich errechnet fX= -2 (x-3.5)² + 15.5, bzw. diese Lösung hat mir mein Mathelehrer gegeben. Aber ich weiß keinen konkreten Lösungsweg und kann das daher auch nicht nachvollziehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 18.09.2011 | | Autor: | Niete |
so sieht die musterlösung aus:
5 Funktionsgleichung in Normalform bestimmen
a) Aus den Koordinaten von A (0 | 3) kann man den y-Achsenabschnitt c = 3 ent-
nehmen. Durch Einsetzen von A und C lässt sich die Normalform bestimmen.
Allgemeiner Ansatz: f (x) = a x2 + b x + c
y-Achsenabschnitt c = 3 einsetzen: f (x) = a x2 + b x + 3
B (–1 | 6) einsetzen: 6 = a · (–1)2 + b · (–1) + 3 | vereinfachen
6 = a – b + 3 | – 3 + b
a = 3 + b (I)
C (2 | 3) einsetzen: 3 = a · (2)2 + b · (2) + 3 | vereinfachen
3 = 4 a + 2 b · + 3 | – 3
0 = 4 a + 2 b (II)
Nach obigen Umformungen bietet sich das Einsetzungsverfahren
an, a = 3 + b wird in Gleichung II eingesetzt:
0 = 4 · (3 + b) + 2 b = 12 + 4 b + 2 b = 12 + 6 b | – 12
–12 = 6 b | : 6
b = –2
Es wird b = –2 in Gleichung I eingesetzt, um a zu erhalten: a = 3 + (–2) = 1.
a und b werden in die allgemeine Gleichung eingesetzt:
Die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f ist also f (x) = x2 – 2 x + 3.
b) Aus den Koordinaten von B (0 | –9) kann man den y-Achsenabschnitt c = –9 ent-
nehmen. Durch Einsetzen von A und C lässt sich die Normalform bestimmen.
Allgemeiner Ansatz: f (x) = a x2 + b x + c
y-Achsenabschnitt ist c = –9 einsetzen: f (x) = a x2 + b x – 9
A (6 | 3) einsetzen: 3 = a · (6)2 + b · (6) – 9 | vereinfachen
3 = 36 a + 6 b – 9 | + 9
12 = 36 a + 6 b | : (–6)
–2 = –6 a – b (I)
C (1 | 3) einsetzen: 3 = a · (1)2 + b · (1) – 9 | vereinfachen
3 = a + b – 9 | + 9
12 = a + b (II)
Nach obigen Umformungen bietet sich das Additionsverfahren
an, Gleichung I und Gleichung II werden addiert:
I + II: 10 = –5a, also a = –2
Jetzt wird a = –2 in Gleichung II. eingesetzt, um b zu erhalten:
12 = –2 + b, also b = 14
a und b werden in die allgemeine Gleichung eingesetzt:
Die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f ist also f (x) = –2 x2 + 14 x – 9.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:49 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was genau ist denn unklar? Das ist genau das, was ich dir auch schon geschrieben habe.
Welcher Schritt ist denn nicht klar?
Marius
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 18.09.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
>
> > Doch, f(x)=(x-1)²+2 passt.
> > Zeig mal deine Rechnung.
> fX= x² -3x+3 +2.25 -2.25
> = (x-1.5)²+0.75
>
> > Ihr habt sicherlich schon Gleichungssysteme mit diversen
> > Verfahren gelöst, hier hast du auch die Möglichkeit,
> > andere Verfahren zu nehmen.
> > In der 11. Klasse sollte das kein großes Problem
> > darstellen, aus den drei gegebenen Gleichungen die
> > Parameter zu bestimmen.
>
> Lach mich nicht aus, aber ich weiß nicht, was ein
> Parameter ist, und ich bin G8, also eigentlich erst in der
> 10.Klasse.
In deinem Profil steht 11 Klasse, dann gehe ich davon aus, sorry.
Der folgende Schritt ist dir klar?:
$ [mm] A(0/3)\Rightarrow [/mm] f(0)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] c=3 $
$ [mm] B(-1/6)\Rightarrow [/mm] f(-1)=6 [mm] \Rightarrow [/mm] a-b+c=6 $
$ C(2/3) [mm] \Rightarrow [/mm] f(2)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 4a+2b+c=3 $
Setzte nun c=3 in die anderen beiden Gleichungen ein, dann ergeben sich folgende beiden Gleichungen:
a-b+3=6
und
4a+2b+3=3
Löse nun mit einem dir bekannten Verfahren dieses Gleichungssystem mit nun noch zwei Variablen.
>
>
> für die b) habe ich errechnet fX= -2 (x-3.5)² + 15.5,
> bzw. diese Lösung hat mir mein Mathelehrer gegeben. Aber
> ich weiß keinen konkreten Lösungsweg und kann das daher
> auch nicht nachvollziehen.
Das funktioniert genauso.
A(6/3), also
f(6)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] a*6²+b*6+c=3 [mm] \Rightarrow [/mm] 36a+6b+c=3
B(0/-9), damit:
f(0)=-9 [mm] \Rightarrow [/mm] a*0²+b*0+c=-9 [mm] \Rightarrow [/mm] c=-9
und C(1/3), also:
f(1)=3 [mm] \Rightarrow [/mm] a*1²+b*1+c=3 [mm] \Rightarrow [/mm] a+b+c=3
Setze c=-9 in die anderen beiden Gleichungen ein, und du bekommst:
[mm] \vmat{36a+6b-9=3\\a+b-9=3}
[/mm]
Löse nun dieses System.
Marius
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Gauß-Verfahren