graphen/tangente/normale skizzieren < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Di 24.08.2004 | | Autor: | nora |
ich hab hier ne aufgabe, und komm nicht weiter. könnt ihr mir den lösungsweg aufschreiben und es erklären? (möglichst einfach bitte :)).
also ich hab die funktion: f(x)= -1/4x³+3x+t, wobei t größer 0 ist. dann musst ich herausfinden, wie t gewählt wurde, damit x0=-2 eine nullstelle der funktion f ist. dann die weiteren nullstellen berechnen und zerlegen, in linearfaktoren. hab ich alles.
extremstellen hab ich auch ermittelt.. da hab ich bei notw. krit.: -2 und 2, in die 2.ableitung eingesetzt, und rausgekommen ist -3(HP) und 3(TP), dann hab ich die werte in die gleichung eingesetzt, um die y-werte rauszukriegen. das wären dann 1,75 und 6,25.
so, nun weiß ich trotzdem nich, wie ich anhand der ermittelten ergebnisse den graphen von f und die tangente sowie die normale im wendepunkt w(0/4) skizzieren soll. versteh nur bahnhof!
kann mir das wer erklären??
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
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hi
also die nullstellen sind jene punkte, die auf der x-achse liegen. die besagen, dass an dieser stelle die funktion ihr vorzeichen wechselt, also von plus nach minus oder von minus nach plus läuft.
anhand der extremalsstellen findest du die extrema heraus.
ein höchstpunkt besagt, dass dies der höchste punkt der funktion ist. also die funktion ist in diesem fall eine parabel, wobei der scheiterl der höchstpunkt ist. selbiges bei tiefstpunkt, nur das ist jene stelle, an der die funktion ihren kleinesten wert hat.
ein wendepunkt besagt, dass die funktion hier ihren verlauf bzw. ihre richtung ändert.
an den extremastellen, sind die tangenten parallel zur x achse.
ansonsten die tangente einfach konstruieren, so wie du sie gerechnet hast.
um den graphen der funktion zu plotten wäre es ratsam, auch dir das krummungsverhalten bzw. das monotonieverhalten zu überlegen.
nicht so relevant, aber genauso spannend wäre das verhalten im unendlichen.
hoffe, konnte dir etwas weiterhelfen.
bei weiteren fragen werden wir bzw. ich dir gerne weiterhelfen
lg
magister
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Hallo nora!
Skizzieren heißt eine Skizze also eine Zeichnung machen. Du mußt ein Koordinatensystem Zeichnen (y senkrecht, x waagerecht), dann HP, TP, und WP, sowie die Nullstellen unf f(0) zeichnen und diese Punkte durch eine Kurve verbinden.
Lass den Spaß am Erfolg aufkommen.
Schöne Grüße,
Ladis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:06 Di 24.08.2004 | | Autor: | nora |
hey.
denn auch die y-werte, die ich da rausbekommen hab? und was bedeutet im wendepunkte w(0/4?
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hi nora
im wendepunkt (0/4) bedeutet, dass du vom koordinatenursprung (0/0) null auf der x achse nach rechts gehst, also stehenbleibst und auf der y achse, vertikal 4 einheiten nach oben gehst. dort ist dein wendepunkt.
lg
magister
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Di 24.08.2004 | | Autor: | nora |
ahh, ok, dankeschön :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:46 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
ich kann das einfach nicht, also irgendwas in graphen einzeichnen oder so. sollte ich vielleicht so akzeptieren.
ich hab jetzt viel extremstellen, nullstelln, wendepunkte etc. gelernt. hm. ich weiß ja nicht, auf was die lehrer sich spezialisieren.
sind hier leute, die in der 11te mal eine nachprüfung machen mussten? ich weiß nicht, was ich noch großartig lernen soll.
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Hallo,
nicht verzweifeln. Was genau ist denn jetzt dein Problem? Hast du Probleme beim Zeichnen eines Graphen oder bist du einfach nur verzweifelt und suchst Mitfühler?
Würde dir ja gerne helfen,
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
ja ich kanns einfach nicht. aber es ist blöd, sich ewig dran aufzuhalten. ich konzentrier mich jetzt eher auf andere sachen.
kannst mir ja mal die lösung zu der aufgabe mit den berührpunkten geben.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:06 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
ich hab jetzt zb. sowas hier gefunden. weiß ja nich, ob es drankommt., aber könnt ihr mir erklären, wie man das rechnet?
also.. Durch die Punkte P und S verläuft eine Sekante des Graphen von f. Zu der Sekante ist eine parallele Tangente gezeichnet. Berechne den Berührungspunkt dieser Tangente mit dem Graphen.
a.) f(x)=2x²+5x-4 ; P(1/y); S(3/y)
wenn ihr jetzt grundsätzlich meint, das wäre zu leicht, und kommt nicht in der nachprüfung dran, bitte sagt es, dann brauch ichs nicht extra üben ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:34 Mi 25.08.2004 | | Autor: | BahrJan |
Hallo Nora!
Ich bin zwar auch kein Matheexperte aber ich würde erstmal den Graphen zeichnen.
Die y-Werte bekommst Du ja durch einsetzten der x-Koordinaten in die Funktion raus.
Jetzt kannst Du die Sekannte einzeichnen und eine Tangente davon einfach mit dem Geodreieck verschieben (bis an den Rand des Graphen)
Dann würde ich die Steigung der Sekannten ermitteln y=mx+b
m= Steigung.
Wenn Du die Steigung hast brauchst Du nur noch den Punkt des Graphen suchen der die Gleiche Steigung hat. (Gleichsetzten)
Die Steigung ist auch gleich der 1. Ableitung der Funktion f_(x).
Ich bin mir allerdings nicht ganz sicher deshalb habe ich auch nur eine Mitteilung geschrieben.
Vielleicht hilft dies Dir ein wenig.
lg
Jan
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Also erstmal bestimmst du die Schnittpunkte P und S der Geraden mit der Funktion
P(1,y) mit f(1)=y f(1)=3
S(3,y) mit f(3)= 29
indem du den jeweiligen x-Wert in deine Gleichung einsetzt, z.b
f(1)= 2*1+5*1-4
Um die Gleichung der Tangente zu bestimmen musst du die Steigung in dem Punkt S oder P berrechnen. Die Steigung der Tangente ist 1/diese Steigung.
Tangente heißt ja nix anderes als dass dort die Funktion nur berührt wird, das geschieht dort wo die Ableitung der Funktion gleich Null ist.
Jetzt brauchst du nur noch die Werte zu berrechnen und die zugehörigen Funktionswerte.
Das sind deine Berührpunkte.
Ich würde nicht sagen, dass die Aufgabe trivial ist. Es kommen ja immer Aufgaben dran bei denen du Rechenkunst und Anwendung zeigen musst. So in der Art wirds schon sein, kenn aber auch deinen Stoff nicht.
Falls du noch mehr Fragen hast, hier hilft dir jeder gerne
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:50 Mi 25.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Matherammel,
> Also erstmal bestimmst du die Schnittpunkte P und S der
> Geraden mit der Funktion
> P(1,y) mit f(1)=y f(1)=3
> S(3,y) mit f(3)= 29
> indem du den jeweiligen x-Wert in deine Gleichung
> einsetzt, z.b
> f(1)= 2*1+5*1-4
In der Aufgabenstellung stand nicht zwingend, dass die Punkte P und S auf der Funktion liegen, ausserdem irritiert mich, dass für zwei unterschiedliche Werte (3 und 29) dieselbe Variable (y) benutzt worden sein soll.
> Um die Gleichung der Tangente zu bestimmen musst du die
> Steigung in dem Punkt S oder P berrechnen. Die Steigung der
> Tangente ist 1/diese Steigung.
Die gesuchte Tangente soll dieselbe Steigung wie die Sekante haben, die durch P und S bestimmt ist, deswegen verstehe ich Deine Aussage nicht, die Steigung sei im Punkt S oder P zu berechnen.
Ausserdem weiss ich nicht, wie Du darauf kommst, die Steigung der Tangente sei "eins-durch-diese-Steigung".
> Tangente heißt ja nix anderes als dass dort die Funktion
> nur berührt wird, das geschieht dort wo die Ableitung der
> Funktion gleich Null ist.
Nein, das ist falsch, die Ableitung der Funktion muss nicht 0 sein, aber die Tangente einer Funktion an einer Stelle zeichnet sich dadurch aus, dass Wert der Ableitung der Funktion und Steigung der Tangente sowie Berührpunkt übereinstimmen.
Sollte ich Dich missverstanden haben (und ich schließe das nicht aus ^^; ), bitte ich um Entschuldigung diese Kritik betreffend.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:33 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
noch dazu weiß ich nie, wer jetzt hier recht hat. AT-colt oder matherammel. hm.. wenn ihr euch einig seid, kann ja nochmal einer versuchen, mir zu helfen. danke :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:14 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
steigung der tangente wäre dann 1/4x+5. richtig? nur was ist das?
kannst du es mir nicht bitte vorrechnen? sonst zieht sich das hier ewig hin, weil ich immer wieder was nicht verstehe. würdst du mir die komplette lösung geben, wärs einfacher für mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:05 Mi 25.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nora,
ich versuche mich auch mal an der Aufgabe, soweit ich sie denn richtig verstanden habe:
> also.. Durch die Punkte P und S verläuft eine Sekante des
> Graphen von f. Zu der Sekante ist eine parallele Tangente
> gezeichnet. Berechne den Berührungspunkt dieser Tangente
> mit dem Graphen.
> a.) f(x)=2x²+5x-4 ; P(1/y); S(3/y)
Also: Die Punkte P und S sind gegeben und wir wissen, dass eine Sekante eine Gerade ist, Geraden haben die Form $g(x) = a*x + b$, wobei gilt, wenn Du zwei Punkte [mm] $P_1=(x_{P_1},y_{P_1})$ [/mm] und [mm] $P_2=(x_{P_2},y_{P_2})$ [/mm] gegeben hast: $a = [mm] \bruch{y_{P_1}-y_{P_2}}{x_{P_1}-x_{P_2}}$
[/mm]
Setzen wir das jetzt ein, erhalten wir für unsere Steigung: $a = [mm] \bruch{y_P-y_S}{x_P-x_S} [/mm] = [mm] \bruch{y-y}{1-3} [/mm] = [mm] \bruch{0}{-2} [/mm] = 0$
Mehr müssen wir von unserer Sekante auch nicht wissen, wir suchen diejenige Tangente zur gegebenen Funktion $f(x) = [mm] 2*x^2 [/mm] + 5*x -4$, die die Steigung 0 hat, dazu überlegen wir uns:
Die erste Ableitung einer Funktion gibt die Steigung dieser Funktion an (kommt Dir der Satz irgendwie bekannt vor?), also bilden wir die erste Ableitung:
$f'(x) = 4*x + 5$ und ermitteln, wo sie den gleichen Wert wie die oben ermittelte Steigung hat, also:
$4*x + 5 = 0 [mm] \gdw [/mm] x = [mm] -\bruch{5}{4}$
[/mm]
Zu diesem Wert gehört auch ein Funktionswert:
[mm] $f(-\bruch{5}{4}) [/mm] = [mm] 2*(-\bruch{5}{4})^2 [/mm] + [mm] 5*(-\bruch{5}{4}) [/mm] - 4 = [mm] \bruch{25}{8} [/mm] - [mm] \bruch{50}{8} [/mm] - [mm] \bruch{32}{8} [/mm] = [mm] -\bruch{57}{8}$
[/mm]
Die Tangente hat einen Punkt mit der Funktion gemeinsam, den Berührpunkt [mm] $(-\bruch{5}{4},-\bruch{57}{8})$ [/mm] und die Steigung $a=0$, also ergibt sich für die Tangentenfunktion:
$t(x) = 0 * x + b$ (Einsetzen des Punktes: ) [mm] $-\bruch{57}{8} [/mm] = [mm] 0*(-\bruch{5}{4}) [/mm] + b [mm] \Rightarrow [/mm] b = [mm] -\bruch{57}{8} \Rightarrow [/mm] t(x) = [mm] -\bruch{57}{8}$
[/mm]
> wenn ihr jetzt grundsätzlich meint, das wäre zu leicht, und
> kommt nicht in der nachprüfung dran, bitte sagt es, dann
> brauch ichs nicht extra üben ;)
Eigentlich dachte ich immer, dass gerade die leichten Aufgaben in Nachprüfungen kommen, allerdings war ich nie in so einer Situation o.O
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
das ist alles so kompliziert. könnt ihr mir nicht einfach die formel für den berührpunkt geben? das muss doch einfacher zu berechnen sein. und per internet ist es eh so schwer zu verstehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:58 Mi 25.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Ich fürchte, ich kann Dir nicht einfach die Formel geben, die Du anwenden musst, um dieses eine Problem einigermaßen zu lösen, damit würdest Du Dich zu sehr spezialisieren und ich würde Dich wahrscheinlich mehr verwirren, als dass ich Dir helfen würde...
Du musst erkennen, dass Du mit dem Wissen das Du hast, den paar Bauklötzchen von wegen wie man Ableitungen bildet, was Geraden sind usw. selbstständige diese Aufgabe lösen kannst.
Wenn Du mal nicht auf anhieb weisst, wie Du eine Aufgabe angehen sollst, schreib wenigstens ein paar Ansätze und Umformulierungen auf, die Dir im Moment einfallen, meistens ergibt sich der nächste Schritt dann ganz von selbst.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:05 Mi 25.08.2004 | | Autor: | nora |
du meinst ich müsste das selbst lösen können? hm. blöderweise kann ichs aber nich.
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Hallo AT-Colt,
mach um Gottes Willen die Zeichnung, die du vor Augen hast, als du das alles erklärst. Ich verspreche dir, die Wirkung wird blitzartige Erleuchtung sein. Ich will dir nicht ins Handwerk pfuschen. 
Schöne Grüße,
Ladis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:22 Do 26.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nora!
Bitte glaube mir: Das Üben bringt dir nur was, wenn du keine Formeln auswendig lernst, sondern das Prinzip verstehst.
Gehen wir doch mal die Antwort von AT-Colt durch: Was verstehst du daran denn nicht? Wo ist die erste Stelle, die dir unklar ist? Dann erklären wir dir diese Stelle noch einmal. Wenn du das Prinzip verstehst, hast du nicht nur diese eine Aufgabe verstanden, sondern direkt ein ganzes Paket von ähnlich gearteten Aufgaben, und du musst dann gar nichts auswendig lernen.
Zumal mir eine Formel für das Problem direkt gar nicht ersichtlich ist, und wenn man es dann mühsam hinbekommt, dann ist die Formel in allgemeiner Form sehr unhandlich.
Liebe Grüße
Stefam
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:45 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
ich halt mich jetzt mal an die rechnung von AT-Colt.
bei 4x+5=0
x=-5/4 .. wieso -? man teilt doch durch 4, wieso dann -?
hm ja, also wenn dus mir jetzt so vorrechnest, dann versteh ich es. aber ich würd da niemals allein drauf kommen, und das stellt ein großes problem da.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:53 Do 26.08.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nora!
> ich halt mich jetzt mal an die rechnung von AT-Colt.
> bei 4x+5=0
> x=-5/4 .. wieso -? man teilt doch durch 4, wieso dann -?
Wir haben:
$4x + 5 = 0$.
Dann bringen wir $5$ auf die andere Seite, d.h. wir rechnen auf beiden Seiten $-5$. Wir erhalten:
$4x + 5 - 5 = 0 - 5$,
also:
$4x = -5$.
Nun teilen wir beide Seiten durch $4$ und erhalten:
[mm] $\frac{4x}{4} [/mm] = [mm] \frac{-5}{4}$,
[/mm]
also:
$x = [mm] -\frac{5}{4}$.
[/mm]
Jetzt klar?
Wo ist das nächste Problem?
> hm ja, also wenn dus mir jetzt so vorrechnest, dann
> versteh ich es. aber ich würd da niemals allein drauf
> kommen, und das stellt ein großes problem da.
Du musst dir die Lösung immer und immer wieder durchlesen und dich bei jedem Schritt fragen: Warum macht er jetzt genau das? Das kann manchmal sehr lange dauern. Die Zeit muss man sich nehmen und sich durchbeißen. Mir geht das auf höherem Niveau auch so, wenn ich Forschungsartikel lese. Da verstehe ich anfangs genauso wenig wie du jetzt. Aber dann setze ich mich hin und versuche es mit viel Mühe Schritt für Schritt zu verstehen. Diese Mühe musst du jetzt auch investieren, anders geht es nicht. Du packst das schon.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:18 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
ja klar, ist logisch. hatte irgendwie vergessen, die 5 rüberzuholen.
dann üb ich mal weiter :)
find ich übrigens super von euch, dass ihr euch so reinhängt und versucht, mir alles zu erklären. (auch wenn man da bei mir leicht ungeduldig werden kann ;))
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:31 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
ich weiß weder, wie ne tangente, noch ne sekante aussieht. wie soll ich da so ne aufgabe lösen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:10 Do 26.08.2004 | | Autor: | Fugre |
> ich weiß weder, wie ne tangente, noch ne sekante aussieht.
> wie soll ich da so ne aufgabe lösen?
>
Hallo,
1. Eine Tangente ist eine Gerade, die in einem gemeinsamen Punkt mit einer Kurve die gleiche Steigung wie die Kurve in diesem Punkt hat. Also sieht man, dass sie die Kurve in dem Punkt berührt, nicht aber schneidet.
2. Eine Sekante ist eine Gerade, die eine Kurve schneidet.
http://www.f4.fhtw-berlin.de/people/whs/Sekante.gif
Auf diesem Bild kannst du noch mal beide sehen.
Hoffe ich konnte die helfen
Fugre
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 12:41 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
danke.
bei der aufgabe hier, die klingt ja ähnlich, wie muss ich da vorgehen? -> vom punkt (-1/-1) sind die Tangenten an den Graphen der Funktion x-->x² gezeichnet.
a.) Bestimme die Koordinaten der Berührungspunkte
b.) Bestimme die Gleichungen der beiden Tangenten in Normalform.
c.) Berechne den Mittelpunkt der Strecke zwischen den Berührungspunkten. Vergleiche mit p.
ich schreib mal, was ich denk. also, tangente ist ne gerade, also formel der geraden anwenden: g(x)=ax+b.. und die funktion lautet x=f(x)=x².. hm, und da gerade und funktion sich berühren sollen, muss man die gleichsetzen. nur wie soll das gehen, ohne zahlen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:40 Do 26.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo nora :)
Ich versuche, diesmal sogar Bilder zu liefern, wenns nicht so klappt, nicht böse sein ^^;
> bei der aufgabe hier, die klingt ja ähnlich, wie muss ich
> da vorgehen? -> vom punkt (-1/-1) sind die Tangenten an den
> Graphen der Funktion x-->x² gezeichnet.
> a.) Bestimme die Koordinaten der Berührungspunkte
Hier hast Du also die Normalparabel und einen zufälligen Punkt der Zahlenebene, die Parabel gebe ich Dir (mit dem Punkt muckt Mapel irgendwie rum ^^; ):
[Dateianhang nicht öffentlich]
> b.) Bestimme die Gleichungen der beiden Tangenten in
> Normalform.
Hier ist schon das passende Bild dazu:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> ich schreib mal, was ich denk. also, tangente ist ne
> gerade, also formel der geraden anwenden: g(x)=ax+b.. und
> die funktion lautet x=f(x)=x².. hm, und da gerade und
> funktion sich berühren sollen, muss man die gleichsetzen.
> nur wie soll das gehen, ohne zahlen?
Grundsätzlich hast Du mit Deiner Idee nicht ganz unrecht, eigentlich bist Du sogar auf einem sehr richtigen Weg.
Wir haben: $g(x) = a*x + b$ als Gerade und $f(x) = [mm] x^2$ [/mm] als unsere Funktion.
Da wir gemeinsame Punkte suchen, müssen wir - wie Du schon gesagt hast - die beiden gleichsetzen:
$a*x + b = [mm] x^2$
[/mm]
Jetzt wissen wir aber noch, dass die gesuchte Gerade eine Tangente ist, und die hat ja im Berührpunkt dieselbe Steigung wie die Funktion, da wir den Berührpunkt aber noch nicht kennen, setzen wir einfach mal die Ableitung von $f$ ein und können sofort etwas umformen:
$(2*x)*x + b = [mm] x^2 \gdw 2*x^2 [/mm] + b = [mm] x^2 \gdw [/mm] b = [mm] -x^2$
[/mm]
Die $x$ in der Ableitung und im $b$ sind nun spezielle $x$, nämlich die vom Berührpunkt mit der Funktion, deswegen bennene ich sie mal um und bezeichne sie ab jetzt mit [mm] $x_b$, [/mm] wir erhalten:
$g(x) = [mm] 2*x_b*x [/mm] - [mm] x_b^2$
[/mm]
Das ist die allgemeine Form unserer gesuchten Geradengleichung, wir kennen aber einen Punkt, der auf der Geraden liegt: $(-1,-1)$, benutzen wir ihn:
$-1 = [mm] 2*x_b*(-1) [/mm] - [mm] x_b^2 [/mm] = [mm] -2*x_b [/mm] - [mm] x_b^2 \gdw x_b^2 [/mm] + [mm] 2*x_b [/mm] - 1 = 0$
Hier lächelt uns die pq-Formel an:
[mm] $x_{b1} [/mm] = [mm] -\bruch{2}{2} [/mm] + [mm] \wurzel{(\bruch{2}{2})^2 - (-1)} [/mm] = -1 + [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
[mm] $x_{b2} [/mm] = -1 - [mm] \wurzel{2}$
[/mm]
Damit erhalten wir zwei Berührpunkte:
[mm] $P_1 [/mm] = [mm] (-1+\wurzel{2},f(-1+\wurzel{2})) [/mm] = [mm] (-1+\wurzel{2},3-2*\wurzel{2})$
[/mm]
[mm] $P_2 [/mm] = [mm] (-1-\wurzel{2},f(-1-\wurzel{2})) [/mm] = [mm] (-1-\wurzel{2},3+2*\wurzel{2})$
[/mm]
Jetzt hast Du die Berührpunkte der Funktion, daraus kannst Du dann bestimmt wieder die Tangentengleichung ermitteln (nicht schummeln und oben aufs Bild schaun ;) ).
Die dritte Aufgabe ist dann ne Spielerei, allerdings mag ich im Moment nicht so viel mit Wurzeln rumrechnen, das überlasse ich wieder ganz Dir :)
greetz
AT-Colt
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 Do 26.08.2004 | | Autor: | Mikel |
Durch die Punkte P und S verläuft eine Sekante des[/font]
> Graphen von f. Zu der Sekante ist eine parallele Tangente
> gezeichnet. Berechne den Berührungspunkt dieser Tangente
> mit dem Graphen.
> a.) f(x)=2x²+5x-4 ; P(1/y); S(3/y)
Hallo AT-Colt,
Ich denke, die Erklärung geht ein wenig an der Aufgabenstellung vorbei.
Vorab eine Bemerkung:
Du sagst, dass eine Sekante eine Gerade ist von der Form y = ax+b. Eine Tangente hat aber auch die Form y=ax+b. Der Unterschied zwischen einer Sekante und einer Tangente ist der, dass die Sekante eine Parabel immer in zwei Punkten schneidet. Eine Tangente (Tan|gen|te, die; -, -n [1: nlat. linea tangens, aus lat. linea (Linie) u. tangens, 1. Part. von: lat. tangere= berühren, © Duden - Deutsches Universal/Fremdwörterbuch 2001 ) berührt per Definitionem nur einen beliebigen Punkt des Graphen.
Gefordert ist hier eine Tangente, die parallel zur Sekante liegt, das heißt, die gleiche Steigung hat wie die Sekante, die ist aber nicht 0.
Zwar haben wir zwei Punkte P(1/y) und S(3/y) vorgegeben. Diese sind (P) x = 1 und (S) x=2.
Damit wissen wir schon mal an welchen Stellen (auf der x-Achse!) die Sekante den Graphen schneidet. Die y-Werte P(1/?) und S(3/?) zur Ermittlung der Steigung der Sekante müssen wir noch ermitteln.
Dafür setzen wir die x-Werte x=1 und x=3 in die nachstehende Funktion ein.
f(x) = 2x²+5x-4
Für P setzen wir
f(1)= [mm] 2$\cdot\$[red]1[/red]²+5$\cdot\$[red]1[/red]-4 [/mm] = 3
und für S
f(3) = [mm] 2$\cdot\$[red]3[/red]²+5$\cdot\$[red]3[/red]-4 [/mm] = 29
So jetzt können wir die Punkte vollständig angeben:
P(1/3) und S(3/29).
Diese Punkte tragen wir jetzt ein. Die Steigung ist
m = [mm] $\bruch{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ [/mm] = [mm] $\bruch{29-3}{3-1}$ [/mm] = 13
m = 13 und damit muss auch für die Tangente die Steigung m = 13 betragen, da sie ja, wie in der Aufgabenstellung gefordert parallel zur Sekante liegt.
Die Aufgabe heißt
Berechne den Berührungspunkt dieser Tangente mit dem Graphen.
Das bedeutet, gesucht ist der Punkt am Graphen, der auch die Steigung 13 hat. Berührt die Tangente diesen Punkt, dann liegt sie auch parallel zur Sekante.
Dies wird mithilfe der ersten Ableitung bewerkstelligt:
f(x) = 2x²+5x-4 [mm] \rightarrow [/mm] f(x) = 4x+5
Der Punkt auf der Parabel, in dem die Steigung 13 ist, ist gleichzeitig der y-Wert der ersten Ableitung für die wir noch x = ? ermitteln müssen
Also:
f(x) = 4x+5 [mm] \rightarrow [/mm] 13 = 4x+5 \ -5
8 = 4x \ :4
x = 2
Damit haben wir alles was wir brauchen, um den Berührungspunkt der Tangente mit der Parabel zu ermitteln.. Dazu wird x = 2 in die Ausgangsfunktion eingesetzt:
f(x) = 2x²+5x-4 [mm] \rightarrow [/mm] f(2) = [mm] 2$\cdot\$2²+5$\cdot\$2-4 [/mm] = 14
Der Berührungspunkt der Tangente (siehe Aufgabenstellung) liegt also bei P(2/14). Wird also an diesem Punkt die Tangente angelegt, dann hat sie die Steigung 13 und liegt damit auch genau parallel zur Sekante
Das kann man leicht beweisen, wenn wir noch die Funktionsgleichung der Tangente ermitteln und einzeichnen:
Für die Tangente erhalten wir dann:
f(x) = 13x+b
und da die Tangente die Parabel bei (2/14) berühren (muss!), können wir für die Funktion diese Punkte einsetzen:
14 = [mm] 13$\cdot\$2+b
[/mm]
14 = 26+b \ -26
-12 = b
Also: f(x) = 13x-12
Und wenn wir für x=2 einsetzen, dann sehen wir, dass die Tangente die Parabel genau in diesem Punkt berührt, nämlich im Punkt 14!
f(2) = [mm] 13$\cdot\$2-12 [/mm] = 14
In der Zeichnung sieht man sehr gut, wie Sekante und Tangente parallel nebeneinander verlaufen.
Siehe Zeichnung im Anhang
[Dateianhang nicht öffentlich]
freundliche Grüße
Mikel
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:14 Do 26.08.2004 | | Autor: | AT-Colt |
Hallo Mikel,
ich konnte der Aufgabenstellung nicht entnehmen, dass P und S auf dem Graphen der gegebenen Funktion liegen sollten, vielmehr dachte ich, dass durch beide Punkte eine beliebige konstante Gerade angegeben sein sollte (da beide dieselbe y-Koordinate hatten).
Die Gerade hätte nicht näher spezifiziert werden müssen, da man eh nur an einer parallelen Tangente interessiert war.
Ich gebe Dir aber insofern recht, dass man es auch so deuten könnte, wie Du es getan hast, da in der Schule gerne statt $f(x)$ $y$ geschrieben wird.
Da Dein Ergebnis wesentlich angenehmer ist, als meines, würde ich Dir bei Deiner Interpretation der Aufgabenstellung zustimmen.
greetz
AT-Colt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:49 Fr 27.08.2004 | | Autor: | nora |
jetzt verwirrt ihr mich wirklich. ich dachte, es geht um die neue aufgabe, mit dem punkt (-1/-1), bei der aufgabe von mikel handelt es sich aber um die aufgabe mit der funktion 2x²+5x-4. d.h. die aufgabe von AT-Colt mit dem Punkt (-1/-1) ist richtig, nur die mit der funktion 2y²+5x-4 ist falsch?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Do 26.08.2004 | | Autor: | nora |
hey. ich hab die anderen nachrichten noch garnich gelesen, d.h. ich bin keinesweg verwirrt ;)
aber tut mir auch leid. die aufgabenstellung stand so im buch. hab ich nur übernommen.
ich mach mich dann morgen an die aufgabe ran, und meld mich dann wieder.
also, vielen dank für eure hilfe/lösung, und noch nen schönen abend! :)
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