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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:15 Di 27.11.2007 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | bestimme den grenzwert der Folge, wenn die Folge konvergent sein sollte
[mm] x_{n}=\wurzel{x+1}-\wurzel{x} [/mm] |
das kann ich mit hilfe der binomischen Formel auf [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}} [/mm] umformen... sieht nicht gerade viel schöner aus....
ich würde jetzt sagen, dass der Nenner gegen unendlcih läuft und damit der Grenzwert 0 ist.....?!?
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WEITERE FOLGEN
[mm] x_{n}=\bruch{1+2+..+n}{n+2}-\bruch{n}{2}
[/mm]
hier habe ich die Folge umgeformt zu [mm] \bruch{(2+4+6+...+(2n-1))-n^{2}}{2n+4}
[/mm]
hier würde der Grenzwert ja gegen [mm] -\infty [/mm] gehen, da [mm] n^{2} [/mm] am schnellsten wächst...
Folge müssen ja nach oben beschränkt sein, also ist diese Folge nicht konvergent oder?
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[mm] x_{n}= \bruch{(2- 1 / \wurzel{n})^{10}-(1+ 1 / n^{2})^{10}}{1-1 / n^{2}-1 / \wurzel{n}}
[/mm]
Den Grenzwert sieht man hier ja so gut wie sofort... 2^10-1^10
nur ob die Folge konvergent ist, kann ich nicht so wirklich zeigen
hab die Formel fleißig umgeformt...
[mm] x_{n}= \bruch{n^{15}(2 \wurzel{n} -1)^{10}-(n^{2}+1)^{10}}{n^{20}-n^{18}-n^{16} \wurzel{n}} [/mm] ...
so wirklich nach n umformen kann man da nicht... :(
Gibt es denn nicht noch andere Möglichkeiten zu zeigen, ob eine Folge konvergent ist, ohne das mit der Epsilonumgebung zu versuchen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Di 27.11.2007 | | Autor: | Kreide |
;)
so, nun soll ja noch gezeigt werden, das die folge konvergent ist:
| [mm] \wurzel{x+1}- \wurzel{x}-0 [/mm] |< [mm] \varepsilon
[/mm]
| [mm] \wurzel{x+1}- \wurzel{x}|< \varepsilon
[/mm]
| [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}|< \varepsilon
[/mm]
Da [mm] \bruch{1}{\wurzel{x}} [/mm] Nullfolge ist ist auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}} [/mm] , also auch [mm] \bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}
[/mm]
die folge ist also konvergent....
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Hi nochmal,
naah, wenn du das explizit mit dem [mm] $\varepsilon$-Kriterium [/mm] zeigen sollst, musst du ja zu deinem beliebig vorgegeben [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein [mm] $N\in\IN$ [/mm] angeben, so dass dann für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt: [mm] $|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|<\varepsilon$
[/mm]
Dazu ist deine Umformung aber sehr hilfreich:
Schätzen wir den Betrag mal in einer NR ab:
[mm] $|\sqrt{n+1}-\sqrt{n}|=\left|\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\right|=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ [/mm] - denn es ist ja alles positiv
[mm] $<\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$ [/mm]
Nenner verkleinert --> Bruch vergrößert
[mm] $=\frac{1}{2\cdot{}\sqrt{n}}\overset{!}{<}\varepsilon$
[/mm]
Das [mm] $\overset{!}{<}$ [/mm] bedeutet: "soll kleiner sein"
Das löse mal nach $n$ auf, dann kannst du dein $N$ bestimmen, so dass die obige Abschätzung für alle [mm] $n\ge [/mm] N$ gilt ...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:39 Do 29.11.2007 | | Autor: | Kreide |
[mm]x_{n}=(-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm]
was ist denn mit dieser Folge?
einerseits denke ich sie konvergiert, da [mm] \wurzel{n+1}-\wurzel{n} [/mm] gegen null konvergiert, also müsste ja [mm] (-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n}) [/mm] gegen null gehen
andererseits ist [mm] (-1)^{n} [/mm] divergent....
ich hab dann man das mit der Epsilonumgebungversucht, wobei ich 0 als Grenzwert angenommen habe... dann komme ich nach einppar Umformungen aus [mm] \bruch{(-1)^{n}}{2} [/mm] < epsilon
nach n kann ich ja nicht umformen, da ln(-1) nicht definiert ist.....
sieht jm meinen Denkfehler?!? ;)
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Hallo Kreide!
> einerseits denke ich sie konvergiert, da [mm]\wurzel{n+1}-\wurzel{n}[/mm] gegen null konvergiert, also müsste
> ja [mm](-1)^{n} \wurzel{n} (\wurzel{n+1}-\wurzel{n})[/mm] gegen null gehen
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Betrachte zunächst [mm] $\wurzel{n}*\left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}\right)$ [/mm] . Diese Folge konvergiert gegen [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] (und nicht gegen 0).
Gruß vom
Roadrunner
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die Folge konvergiert gegen 0,5?? wie zeige ich das? ich bekomme das irgendwie nicht hin... :(
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Hallo Dee,
immer derselbe "Trick" 
erweitere [mm] $\wurzel{n}\cdot{}\left(\wurzel{n+1}-\wurzel{n}\right) [/mm] $ mit [mm] $\sqrt{n+1}\red{+}\sqrt{n}$
[/mm]
Dann erhätst du im Zähler die 3.binomische Formel:
[mm] $\sqrt{n}\cdot{}\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})\cdot{}\blue{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}}{\blue{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n\cdot{}\left(1+\frac{1}{n}\right)}+\sqrt{n}}$
[/mm]
Nun den Nenner noch etwas weiter umformen und [mm] $\sqrt{n}$ [/mm] ausklammern.
Dann siehtst du's
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:25 Do 29.11.2007 | | Autor: | Dee260484 |
vielen dank! :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:28 Do 29.11.2007 | | Autor: | bonni |
hallo
kann mir jemand helfen?
Ich sehe bei der 1.a.) kein binom!
ich verstehe nicht warum
[mm]x_{n}=\wurzel{x+1}-\wurzel{x}[/mm]
ein binom ist?!?
und wie kommt man dann darauf:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{x+1}+\wurzel{x}}[/mm]
lg
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Hi bonni,
schlichte Erweiterung mit [mm] $\sqrt{x+1}+\sqrt{x}$
[/mm]
Also
[mm] $\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\cdot{}\blue{(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}}{\blue{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}}=\frac{(\sqrt{x+1})^2-(\sqrt{x})^2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:01 Do 29.11.2007 | | Autor: | bonni |
ok, vielen dank!!
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
> umformen... sieht nicht
