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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Di 20.05.2008 | | Autor: | Patella |
| Aufgabe | für jedes a>0 gilt lim (n--> unendlich) (n-te WURZEL a) = 1
diese aussage soll gezeit werden.
Tipp: betrachte zuerst a<1
um zu zeigen, dass [mm] 0\le a^1/n [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] für jedes beliebige kleine epsilon richtig ist, wie bei n-te Wurzel aus n.
den fall a < 1 können sie mit b=1/a auf den ersten zurück führen! |
Ich habe mich jetzt schon mit dieser aussage auseinander gesetzt. auch mit der n-ten wurzel aus n, aber irgendwie hab ich leider noch keine richtige idee...
ich wäre über eure hilfe sehr dankbar
lieben gruß
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> für jedes a>0 gilt lim (n--> unendlich) (n-te WURZEL a) = 1
Mit TeX: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel[n]{a} = 1 [/mm]
> diese aussage soll gezeigt werden.
>
> Tipp: betrachte zuerst a<1
gemeint war wahrscheinlich a>1 ! (siehe ***)
> um zu zeigen, dass [mm]0\le a^1/n[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] für jedes ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
> beliebige kleine epsilon richtig ist, wie bei n-te Wurzel
> aus n.
???????
> den fall a < 1 können sie mit b=1/a auf den ersten zurück führen! (***)
> Ich habe mich jetzt schon mit dieser aussage auseinander
> gesetzt. auch mit der n-ten wurzel aus n, aber irgendwie
> hab ich leider noch keine richtige idee...
>
> ich wäre über eure hilfe sehr dankbar
>
> lieben gruß
>
Im Fall a > 1 geht es darum, zu zeigen, dass
[mm] 1 \le a^{1/n} < 1+ \varepsilon [/mm]
für jedes beliebig kleine positive [mm] \varepsilon [/mm] mit einem genügend
grossen n erfüllt werden kann.
Für die weitere Rechnung empfiehlt es sich wohl, diese Ungleichungs-
Kette mit dem Exponenten n zu potenzieren und zu verwenden,
dass (1+ [mm] \varepsilon)^n \ge [/mm] 1 + n [mm] \varepsilon [/mm] ( für [mm] \varepsilon [/mm] > 0 und n [mm] \in \IN [/mm] )
Gruß al-Chwarizmi
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