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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Fr 12.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | | berechne [mm] \limes_{n\rightarrow 0} \frac{log(1+x) - x}{|x|} [/mm] |
Hallo liebe Gemeinde!
also ich habe:
Zähler geht beides gegen 0, Nenner geht auch gegen 0
also 0/0,,,
das bringt mich nicht wirklich viel weiter
es kommt 0 raus, das weis ich...
aber wie bekomme ich den blöden nenner weg, damit ich den grenzwert ordentlich berechnen kann??
steh grad am schlauch :/
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Hallo elmanuel,
¡tranquilo!
> berechne [mm]\limes_{n\rightarrow 0} \frac{log(1+x) - x}{|x|}[/mm]
Unter dem Limes sollte wohl [mm] x\to0 [/mm] stehen.
> also ich habe:
>
> Zähler geht beides gegen 0, Nenner geht auch gegen 0
>
> also 0/0,,,
>
> das bringt mich nicht wirklich viel weiter
Das klingt ganz nach l'Hospital...
> es kommt 0 raus, das weis ich...
>
> aber wie bekomme ich den blöden nenner weg, damit ich den
> grenzwert ordentlich berechnen kann??
Ableiten, wie gesagt.
Aber da gibt es noch ein Problem, nämlich die Betragsstriche.
Du musst also eine Fallunterscheidung treffen, je nachdem von welcher Seite x gegen 0 geht. Die gilt dann natürlich auch für den Zähler.
> steh grad am schlauch :/
(Te quedas en blanco...)
Geh da runter. Die Dinger gehen kaputt, wenn man sie zu scharf knickt, egal ob transversal oder longitudinal. Ach so: am Schlauch. Das geht natürlich, ist aber auch nicht so tragisch, oder?
Grüße
el reverendo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 Sa 13.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
¡muchas gracias reverendo!
> Ableiten, wie gesagt.
hab ich mir auch schon gedacht, leider dürfen wir den l'hopital noch nicht anwenden da er in der VO noch nicht bewiesen wurde.
ich denke wir sollten das mit hilfe der eigenschaften für exp und log lösen... vielleicht ist es so gedacht das man den betrag von x als [mm] sqrt(x^2)=exp((2/2) [/mm] log x) auffasst ... irgendwie so
> Aber da gibt es noch ein Problem, nämlich die
> Betragsstriche.
> Du musst also eine Fallunterscheidung treffen, je nachdem
> von welcher Seite x gegen 0 geht. Die gilt dann natürlich
> auch für den Zähler.
hm ... fallunterscheidung ist vielleicht ne gute idee!
> > steh grad am schlauch :/
> (Te quedas en blanco...)
>
> Geh da runter. Die Dinger gehen kaputt, wenn man sie zu
> scharf knickt, egal ob transversal oder longitudinal. Ach
> so: am Schlauch. Das geht natürlich, ist aber auch nicht
> so tragisch, oder?
lol
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Sa 13.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> ¡muchas gracias reverendo!
>
> > Ableiten, wie gesagt.
>
> hab ich mir auch schon gedacht, leider dürfen wir den
> l'hopital noch nicht anwenden da er in der VO noch nicht
> bewiesen wurde.
Ableitungen hattet Ihr ?
Wenn ja, so setze f(x):=log(1+x)-x. Dann ist [mm] \bruch{log(1+x)-x}{x}=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
Zeige , dass dieser Quotient gegen 0 geht für x [mm] \to [/mm] 0
Das gleiche treiben dann die Quotienten
[mm] |\bruch{log(1+x)-x}{x}| [/mm] und [mm] \bruch{log(1+x)-x}{|x|}
[/mm]
FRED
>
> ich denke wir sollten das mit hilfe der eigenschaften für
> exp und log lösen... vielleicht ist es so gedacht das man
> den betrag von x als [mm]sqrt(x^2)=exp((2/2)[/mm] log x) auffasst
> ... irgendwie so
>
> > Aber da gibt es noch ein Problem, nämlich die
> > Betragsstriche.
> > Du musst also eine Fallunterscheidung treffen, je
> nachdem
> > von welcher Seite x gegen 0 geht. Die gilt dann natürlich
> > auch für den Zähler.
>
> hm ... fallunterscheidung ist vielleicht ne gute idee!
>
> > > steh grad am schlauch :/
> > (Te quedas en blanco...)
> >
> > Geh da runter. Die Dinger gehen kaputt, wenn man sie zu
> > scharf knickt, egal ob transversal oder longitudinal. Ach
> > so: am Schlauch. Das geht natürlich, ist aber auch nicht
> > so tragisch, oder?
> lol
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:24 Sa 13.10.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke fred!
> Ableitungen hattet Ihr ?
ja differenzenquotient war letzte woche!
> Wenn ja, so setze f(x):=log(1+x)-x. Dann ist
> [mm]\bruch{log(1+x)-x}{x}=\bruch{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
>
> Zeige , dass dieser Quotient gegen 0 geht für x [mm]\to[/mm] 0
wenn f(x)=log(1+x)-x dann ist [mm] f'(x)=\frac{1}{(1+x)} [/mm] -1
und [mm] f'(0)=\frac{1}{(1+x)}-1=0= \limes_{x\rightarrow 0} \frac{log(1+x)-x - 0}{x-0}
[/mm]
somit ist der limes der aufgabenstellung 0 für x>0 also rechtsseitiger limes
nachdem
[mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{log(1+x)-x}{-x}= \limes_{x\rightarrow 0} [/mm] -1 * [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{log(1+x)-x - 0}{x-0} [/mm] =-1*0=0
ist der limes der aufgabenstellung für x<0 ebenfalls 0 (linkssseitiger limes)
somit ist [mm] \limes_{x\rightarrow 0} \frac{log(1+x)-x}{|x|}=0
[/mm]
korrekt?
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Guten Morgen!
Das sieht alles korrekt aus.
Gute Idee von Fred, die Lösung über den Differenzenquotienten.
Grüße
reverend
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