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hallo ihr
ich soll den grenzwert ermitteln von(schwerpunkt de hospital):
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{ln^{2n}(x)}{x^{n}}
[/mm]
Dies ist vom Typ [mm] \bruch{\infty}{\infty}, [/mm] desween kann man de hospital verwenden.
habe dann folgendes:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{2*ln^{2n-1}(x)* \bruch{1}{x}}{nx^{n-1}}
[/mm]
nach etwas umformen:
[mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{2n*ln^{2n-1}(x)* \bruch{1}{x^{n}}}{n}
[/mm]
nun hab ich ja im zähler [mm] \infty [/mm] * 0, oder sehe ich das falsch?
jedenfalls haben wir, wenn ich es und meine mitstudentin nicht beide falsch abgeschrieben habe, = 0 raus.
[mm] ln^{2n-1}(x) [/mm] ist doch [mm] \infty?
[/mm]
mfg
markus
ps:danke im voraus, server sind schon genug beschäftigt:)
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Bis dahin hast du's richtig gemacht (außer, dass du in der 2. Formel im Zähler ein n vergessen hast).
Jetzt bist du bei: [mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{2n\cdot{}ln^{2n-1}(x)\cdot{} \bruch{1}{x^{n}}}{n}[/mm]
Das formen wir noch um, und bringen das [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] in den Nenner:
[mm]\limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{2n\cdot{}ln^{2n-1}(x){x^{n}}}{n\cdot{}x^2}[/mm]
Richtig "bemerkenswert" ist das [mm]x^n[/mm] im Nenner: obwohl es durch die l'Hôpital-Ableitung zuerst zu einem [mm]x^{n-1}[/mm] wurde, so isses wieder zu nem [mm]x^n[/mm] geworden (durch die innere Ableitung des Zählers).
Und das Spielchen kannst du noch ein paar Ableitungen weiter treiben: der Nenner wird immer ein [mm]x^n[/mm] bleiben, während der Zähler sich irgendwann "aufgelöst" hat (wenn alle n im Exponenten "aufgebraucht" sind).
Somit haben wir dann im Zähler etwas Konstantes, während der Nenner noch immer ein [mm]x^n[/mm]-Term ist.
Das erklärt den Grenzwert Null.
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hi
woher hast du aufeinmal [mm] x^{2}? [/mm] du meintest bestimmt [mm] x^{n} [/mm] in den nenner bringen. aber dann fällt er im zähler weg, sprich dann hast du:
$ [mm] \limes_{x\rightarrow+\infty} \bruch{2n\cdot{}ln^{2n-1}(x)}{n\cdot{}x^{n}} [/mm] $
hab ich das soweit richtig verstanden?
jetzt hab ich wieder nen typ unendlich/unendlich und kann de hospital n-mal benutzen. im nenner bleibt dann ja immer etwas(wie du gesagt hast) was du zum zähler gesagt hast, hab ich nicht ganz verstanden.
aber [mm] ln^{2n-1} [/mm] kann ich ja auch als [mm] 1/(ln^{-2n+1}), [/mm] wobei die letzte 1 bei jeder ableitung immer größer wird, so das ich irgendwann [mm] 1/(\infinity), [/mm] was "= 0" ist.
oder? (kann sein, das du das selbe gemeint hast*g, aber ich wollte das eben nochmal so aufschreiben wie ich es verstanden habe)
mfg
markus
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Das [mm]x^2[/mm] war natürlich Blödsinn, ich meinte [mm]x^n[/mm].
Wir meinen wirklich dasselbe: wenn du [mm]ln^{2n}(x)[/mm] nur oft genug ableitest, und die innere Ableitung [mm]\bruch{1}{x}[/mm] sich jedesmal in den Nenner verabschiedet, dann bleibt am Ende im Zähler nur noch ne Konstante übrig: [mm]ln^{2n}(x)[/mm] -> [mm]ln^{2n-1}(x)[/mm] -> ... [mm]ln^2(x)[/mm] -> [mm]ln(x)[/mm] -> [mm]\bruch{1}{x}[/mm].
Du siehst: wir meinen wirklich dasselbe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:19 Mo 29.11.2004 | | Autor: | e.kandrai |
Und zu deiner Rechnung: ja, in deiner Version stand [mm]\infty*0[/mm] da, was aber nicht definiert ist. Und dieses Problem umgeht man, indem man diesen Term [mm]\bruch{1}{x^2}[/mm] vom Zähler in den Nenner bringt.
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