größte untere Schranke < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Do 11.11.2004 | | Autor: | beauty |
Also man soll zeígen das (xQ x > 0 und [mm] x^2 [/mm] >2) nichtleer und nach unten beschränkt ist und das eine größte untere Schranke in Q existiert.
Ich weiß, dass die Zahl eine positive rationale Zahl sein muss und zwar ist ja in diesem Fall Wurzel aus 2
Ich weiß auch wie es aussehen soll, nur weiß ich nicht wie ich das aufschreiben soll.
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Do 11.11.2004 | | Autor: | zwerg |
Moin beauty!
[mm] \wurzel{2} [/mm] ist zwar die kleinste untere Schranke deiner Menge nennen wir sie mal A aber alles andere als rational.
Hier der Beweis.
Annahme [mm] \wurzel{2} [/mm] wäre rational, dann gäbe zwei Zahlen m,n [mm] \in [/mm] Q mit:
[mm] \wurzel{2} [/mm] =a= [mm] \bruch{m}{n} [/mm] n,m teilerfremd [mm] \to
[/mm]
[mm] \to 2=a^{2} [/mm] = [mm] \bruch{m^{2}}{n^{2}}
[/mm]
[mm] \to 2n^{2} [/mm] = [mm] m^{2} [/mm] (*) [mm] \to [/mm] m ist gerade also m=2p und [mm] m^{2} =4p^{2}
[/mm]
[mm] \to 2n^{2} =4p^{2}
[/mm]
[mm] \to n^{2} =2p^{2}
[/mm]
[mm] \to [/mm] n ist auch gerade
[mm] \to [/mm] m,n nicht teilerfremd Widerspruch zur Voraussetzung, das m,n teilerfremd sind.
[mm] \to \wurzel{2} [/mm] ist nicht rational
also hast du die Beschränktheit zu zeigen Bsp. genügt.
Guck dir mal in nem Lehrbuch an, was Q liegt dicht in R bedeutet.
MfG zwerg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:03 Do 11.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Also man soll zeígen das (xQ x > 0 und [mm]x^2[/mm] >2) nichtleer
> und nach unten beschränkt ist und das eine größte untere
> Schranke in Q existiert.
Dass die Menge nicht leer ist, das zeigst du einfach, indem du z.B. sagst:
(Ich definiere jetzt mal: [mm] $M:=\{x \in \IQ: x>0\;\mbox{und}\;x^2 > 2\}$)
[/mm]
$2 [mm] \in \IQ$, [/mm] $2>0$ und [mm] $2^2=4 [/mm] > 2$, also $2 [mm] \in [/mm] M$.
> Ich weiß, dass die Zahl eine positive rationale Zahl sein
> muss und zwar ist ja in diesem Fall Wurzel aus 2
Nein, das stimmt nicht und wurde bereits widerlegt: Es gilt:
[m]\wurzel{2} \notin \IQ[/m].
> Ich weiß auch wie es aussehen soll, nur weiß ich nicht wie
> ich das aufschreiben soll.
Ich glaube zudem, dass die eigentliche Aufgabenstellung lautet:
Zeigen Sie, dass [mm] $\{x \in \IQ: x>0 \;\mbox{und}\;x^2>2\}$ [/mm] nichtleer und nach unten beschränkt ist und dass keine größte untere Schranke in [mm] $\IQ$ [/mm] existiert.
Könntest du bitte nochmal nachgucken? Vielleicht gibt es auch ein Link zum Aufgabenblatt?
Viele Grüße,
Marcel
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