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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:25 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Sajuri |
| Aufgabe | Seien [mm] (A,\circ) [/mm] endliche Gruppe mit Neutralelement e und [mm] x\in [/mm] A festes Element.
Zeigen Sie: Es gibt ein kleinstes [mm] k\in\IN [/mm] mit [mm] x^{k}=e [/mm] (k - Ordnung von x)
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Hallo zusammen,
Diese Aufgabe habe ich probiert zu lösen. Aber ich bin mir nicht sicher, das die Lösung richtig ist.
Widerspruchbeweis:
Annahme: [mm] \exists [/mm] m > k: [mm] x^m=e, [/mm] m=l+k
Beweis: [mm] x^m [/mm] = [mm] x^k [/mm] = e [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^{k+l}=x^k \Rightarrow
[/mm]
[mm] x^k \circ x^l=x^k [/mm] | [mm] \circ (x^k)^{-1} \Rightarrow
[/mm]
[mm] (x^k)^{-1} \circ x^k [/mm] = [mm] (x^k)^{-1} \circ x^k \circ x^l \Rightarrow [/mm]
e = e [mm] \circ x^l \Rightarrow
[/mm]
e = [mm] x^l [/mm] das ist Widerspruch zur Annahme [mm] \Rightarrow [/mm] k ist kleinstes. [mm] \Box
[/mm]
könnt ihr bitte mir verraten, ob es richtig oder falsch ist.
Danke im Voraus
Sajuri
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Du solltest eher zeigen, dass die Menge [mm] $M_x=\{l\in\IN: x^l=e\}$ [/mm] nicht leer ist! Da [mm] $\IN$ [/mm] nach unten beschraenkt ist und [mm] $M_x$ [/mm] eine Teilmenge davon ist, folgt aus [mm] $M_x\neq\emptyset$ [/mm] die Existenz eines minimalen Elements. Du koenntest so arumentieren: $<x>$ (die Huelle) ist zyklich (A ist endliche Gruppe). Das bedeutet, dass es ein $p$ (die Laenge der Periode oder Vielfache davon) gibt so dass [mm] $=\{x,x^2,...,x^{p}\}$. [/mm] Anders ausgedrueckt: [mm] $x^{p+l}=x^l$ [/mm] fuer alle $l$. Das Element [mm] $x^{-l}\in [/mm] A$ multipliziert mit [mm] $x^{p+l}$ [/mm] ergibt die Behauptung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Sa 17.11.2007 | | Autor: | Sajuri |
Hallo Kornfeld,
Danke für schnelle Antwort
Leider habe ich deine Erklärung nicht gut verstanden. Ich verstehe jetzt, dass ich zeigen muss, dass [mm] $M_x=\{l\in\IN: x^l=e\}$ [/mm] nicht leer ist. Und weiter mit p habe ich nicht ganz kapiert.
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Hallo,
zeig doch erstmal, daß es überhaupt solch ein k gibt, für das das gilt.
Das ist ja nicht selbstverständlich. In [mm] (\IQ, [/mm] *) gibt's das z.B. nicht.
Beachte die Voraussetzung.
Gruß v. Angela
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