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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Fr 08.05.2009 | | Autor: | mini111 |
| Aufgabe | Eine Gruppe G operiere auf einer Menge X.Sei x [mm] \in [/mm] X,a [mm] \in [/mm] G und y=a*x in der Bahn von x.Zeigen sie
a)die Menge der g [mm] \in [/mm] G,die x auf y abbilden,ist gleich [mm] a*G_{x}
[/mm]
b)Für die Stabilisatoren von x und y gilt [mm] G_{y}=a*G_{x}*a^{-1} [/mm] |
Hallo,
Ich habe bei dieser Aufgabe einfach keine Idee.Mit [mm] G_{x} [/mm] müsste ja der Stabilisator(oder Isotropiegruppe) von x gemeint sein,also [mm] G_{x}= [/mm] { g [mm] \in [/mm] G|g*x=x } ,aber hier weiß ich schon nicht weiter.
Danke schonmal für eure antworten.
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:16 Sa 09.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich habe bei dieser Aufgabe einfach keine Idee.Mit [mm]G_{x}[/mm]
> müsste ja der Stabilisator(oder Isotropiegruppe) von x
> gemeint sein,also [mm]G_{x}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{ g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G|g*x=x } ,aber hier weiß
> ich schon nicht weiter.
Welche Gedanken hast du dir denn sonst gemacht? Was bedeuten die Definitionen alle? Also [m]a*G_x=\{a*g|g\in G_x\}[/m], jetzt multiplizier ein beliebiges Element mal auf x drauf. Auf der andren Seite: Sie [m]a*x=y=b*x[/m] - was folgt dann mit Operationseigenschaften? Bei der b) hangelt man sich ähnlich vor.
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 Sa 09.05.2009 | | Autor: | mini111 |
Hallo,
Danke für deine hilfe.weiß auch nicht,ich tu mich irgendwie schwer mit so definitionen.
Ich hab mal alle aufgeschrieben,also irgendwie sowas:
Eine Operation von G auf X heißt transitiv, falls [mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in [/mm] X [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] G : a · x = y.
Die Menge G*x := {g ·x | g [mm] \in [/mm] G} heißt Orbit oder Bahn von x [mm] \in [/mm] X
Für x [mm] \in [/mm] X heißt [mm] G_{x} [/mm] := {g [mm] \in [/mm] G| g · x = x} [mm] \subseteq [/mm] G Isotropiegruppe
oder Stabilisator von x.
um dieses def.irgendwie zusammen zu bringen,dachte ich vlt an sowas:
[mm] a*G_{x}= [/mm] {g [mm] \in [/mm] G |a*g*x=a*x } ---> g *y=b * x (da ja wie du geschrieben hattest a*x=y=b*x gilt?),ich bin bisher abbildungen immer so gut es geht aus dem weg gegangen.versteh das alles irgendwie nicht so richtig.
gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:57 Sa 09.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> Danke für deine hilfe.weiß auch nicht,ich tu mich irgendwie
> schwer mit so definitionen.
Aber irgendwie kommen die immer so vor in der Mathematik ... du wirst es schwer haben, wenn du dich da nicht reinfinden kannst, zu mindest in Algebra. Keep tryin'!
> Eine Operation von G auf X heißt transitiv, falls [mm]\forall[/mm]
> x, y [mm]\in[/mm] X [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G : a · x = y.
Offenbar nicht interessant im unserne Fall, zumal wir auch einfach nicht wissen, ob die Operation transitiv ist.
> Die Menge G*x := {g ·x | g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G} heißt Orbit oder Bahn
> von x [mm]\in[/mm] X
Auch nicht so wichtig hier.
> Für x [mm]\in[/mm] X heißt [mm]G_{x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= {g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G| g · x = x} [mm]\subseteq[/mm]
> G Isotropiegruppe
> oder Stabilisator von x.
Die schon, aber die hattest du schon erwähnt.
> um dieses def.irgendwie zusammen zu bringen,dachte ich vlt
> an sowas:
> [mm]a*G_{x}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
{g [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
G |a*g*x=a*x } ---> g *y=b * x
Also deine Definition stimmt nicht, ich habe für die Menge im letzten Post schon eine korrekte gegeben (bei dir würde das a einfach fehlen und per Definition wieder nur [m]G_x[/m] herauskommen).
> (da ja wie
> du geschrieben hattest a*x=y=b*x gilt?),
Nein, das habe ich nicht geschrieben. Du musst bei der a) eigentlich eine Mengengleichung lösen, nämlich [m]\{h\in G|h*x=y\}=a*G_x[/m]. Hierfür nehme ein Element aus der rechten Menge, zeige sie ist in der linken. Um das vice versa zu zeigen, setze [m]a*x=y=b*x[/m] an.
> ich bin bisher
> abbildungen immer so gut es geht aus dem weg
> gegangen.
Aha. Das ist in der Mathematik echt nicht möglich - es kommen überall Abbildungen vor (gut, vielleicht auch nur Morphismen manchmal).
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 Sa 09.05.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo & danke nochmal,
wahrscheinlich stell ich mich jetzt ein bissl blöde an aber irgendwie klappts net so richtig....müsste man dann jetzt folgendes haben:
{g [mm] \in [/mm] G | g*x=y} = [mm] a*G_{x}
[/mm]
{g [mm] \in [/mm] G | g*x=y} = {a*g | g [mm] \in G_{x} [/mm] }
{g [mm] \in [/mm] G | g*x=a*x} = {a*g | g [mm] \in G_{x} [/mm] }
{g [mm] \in [/mm] G | g=a} = {a*g | g [mm] \in G_{x} [/mm] }
....???
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:32 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\{g \in G | g*x=y\} = a*G_{x}[/mm]
> [mm]\{g \in G | g*x=y\} = \{a*g | g \in G_{x} \}[/mm]
> [mm]\{g \in G | g*x=a*x\} = \{a*g | g \in G_{x} \}[/mm]
Ja.
> [mm]\{g \in G | g=a\} = \{a*g | g \in G_{x} \}[/mm]
Wie kommst du auf die linke Menge? Die Gleichheit ist offensichtlich falsch - links enthält die Menge ja nur noch a!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:21 So 10.05.2009 | | Autor: | mini111 |
hallo,
mmhhh.....vielleicht so:?
[mm]\{g \in G | g*x=y\} = a*G_{x}[/mm]
[mm]\{g \in G | g*x=y\} = \{a*g | g \in G_{x} \}[/mm]
[mm]\{g \in G | g*x=a*x\} = \{a*g | g \in G_{x} \}[/mm]
[mm]\{g \in G | (g*x)/a=x\} = \{a*g*a^{-1} | g \in G_{x} \}[/mm]
???
danke & gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 So 10.05.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\{g \in G | (g*x)/a=x\} = \{a*g*a^{-1} | g \in G_{x} \}[/mm]
Was soll das Teilen denn sein? Was hast du wie gemacht? Wieso multiplizierst du auf der rechten Seite?
> ???
Du musst schonmal deine Ideen mitschreiben. Ich mache mal einen Anfang: Es sei b beliebig, aber mit der Eigenschaft, dass [m]a*x=y=b*x[/m], also gilt [m]a^{-1}*b*x=x[/m], also [m]a^{-1}*b\in G_x[/m], also gibt es ein [m]g\in G_x[/m] mit [m]b=a*g[/m], dies zeigt die eine Inklusion.
SEcki
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