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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:11 Sa 18.10.2008 | | Autor: | mangaka |
| Aufgabe | a)beweisen sie mittels gruppentafel, dass [mm](\IZ_6, +_6)[/mm] eine abelsche gruppe ist
b)beweisen sie, dass [mm]((\IR\ \setminus \left\{ 0 \right\})^n, \cdot)[/mm] unter komponentenweiser multiplikation eine abelsche gruppe ist.
c)sei [mm] g(g,\circ) [/mm] eine gruppe. beweisen sie:
[mm](ab)^{-1} = b^{-1} a^{-1}[/mm] |
hi,
ich habe letzte woche mit meinem informatikstudium begonnen und muss nun durch das mathe-modul: lineare algebra.
wir haben nun einen übungszettel gekriegt, mit dem ich ein paar probleme habe.
zu a)
ich hab die tafel gezeichnet und anhand ihrer nachgewiesen, dass die kommutativität stimmt und es ein inverses und neutrales element gibt.
mein problem: wie weise ich die assoziativität nach?
zu b)
was heisst komponentenweise multiplikation?
ich habe eine vermutung, bin mir aber nicht sicher.
hier ein bsp mit [mm] IR^2:
[/mm]
(2,3)*(4,5) = (2*4, 3*5) = (8,15) stimmt das so?
wenn das stimmt, würde dieses als beweis fuer ein neutrales element gelten?
komponentenweise multiplikation:
a1,a2...an [mm] \in \IR [/mm] und b1,b2...bn [mm] \in \IR
[/mm]
(a1,...,an)*(b1,...,bn)=(a1*b1,...,an*bn)
neutrale element: 1
(a1,...,an)*(1,...,1)=(1*a1,...,1*an)=(a1,...,an)
ich bin ein neuling in der beweisführung. also bitte nicht erschlagen, wenn ich scheisse bau^^
und meine letzten drei fragen: wie beweise ich hier das kommutativ- und assoziativgesetz? eine tafel kann ich ja schlecht zeichnen.
und wie sieht's mit der abgeschlossenheit aus?
c)hier bitte ich um einen ansatz. ich hab nicht einmal ne ahnung, was ab heissen soll. ist das eine multiplikation oder hat man den kringel einfach weggelassen?
irgendwie fühl ich mich als wäre ich ins tiefe wasser gestoßen worden und drohe zu ertrinken.
hoffe einer von euch kann mir ein rettungsring zu werfen ;)
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Hallo!
> mein problem: wie weise ich die assoziativität nach?
Du mußt zeigen, daß für [mm] $a,b,c\in \IZ_6$: [/mm] $(a+_6b)+_6c=a+_6(b+_6c)$ ist. Das ist mit der Gruppentafel ziemlich lästig, weils ziemlich viele Möglichkeiten für die a,b,c gibt. Ich denke aber, daß Du die Assoziativität der "normalen" Addition auf [mm] $\IR$ [/mm] benutzen darfst, und damit kann man die Assoziativität von $+_6$ beweisen, denn die ist ja mithilfe von [mm] "$+_\IR$" [/mm] definiert.
> zu b)
> was heisst komponentenweise multiplikation?
> ich habe eine vermutung, bin mir aber nicht sicher.
> hier ein bsp mit [mm]IR^2:[/mm]
> (2,3)*(4,5) = (2*3, 4*5) = (6,20) stimmt das so?
>
genau das heißt es.
> wenn das stimmt, würde dieses als beweis fuer ein neutrales
> element gelten?
> komponentenweise multiplikation:
> a1,a2...an [mm]\in \IR[/mm] und b1,b2...bn [mm]\in \IR[/mm]
>
> (a1,...,an)*(b1,...,bn)=(a1*b1,...,an*bn)
>
> neutrale element: 1
> (a1,...,an)*(1,...,1)=(1*a1,...,1*an)=(a1,...,an)
>
> ich bin ein neuling in der beweisführung. also bitte nicht
> erschlagen, wenn ich scheisse bau^^
paßt schon 
> und meine letzten drei fragen: wie beweise ich hier das
> kommutativ- und assoziativgesetz? eine tafel kann ich ja
> schlecht zeichnen.
Ich denke, man darf die Kommutativität und Assoziativität voraussetzen, ansonsten wirds echt häßlich, weil man dann in die Definition von [mm] $\IR$ [/mm] gehen muß...
> und wie sieht's mit der abgeschlossenheit aus?
Dazu solltest Du dich fragen: Wenn Du zwei Zahlen [mm] $\neq [/mm] 0$ multiplizierst, ist das Ergebnis auch [mm] $\neq [/mm] 0$?
> c)hier bitte ich um einen ansatz. ich hab nicht einmal ne
> ahnung, was ab heissen soll. ist das eine multiplikation
> oder hat man den kringel einfach weggelassen?
Genau das. Man spart sich irgendwann den Kringel.
> irgendwie fühl ich mich als wäre ich ins tiefe wasser
> gestoßen worden und drohe zu ertrinken.
> hoffe einer von euch kann mir ein rettungsring zu werfen
> ;)
Stets zu Diensten :)
Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 18.10.2008 | | Autor: | mangaka |
>> zu b)
>> was heisst komponentenweise multiplikation?
>> ich habe eine vermutung, bin mir aber nicht sicher.
>> hier ein bsp mit $ [mm] IR^2: [/mm] $
>> (2,3)*(4,5) = (2*3, 4*5) = (6,20) stimmt das so?
>>
>genau das heißt es.
ich hab gerade gesehen, dass ich da einen fehler gemacht habe. wahrscheinlich hast du ihn auch übersehen. ich wollte eigentlich das schreiben:
(2,3)*(4,5) = (2*4, 3*5) = (8,15) oder war das andere etwa doch richtig?^^
zitat: "Ich denke, man darf die Kommutativität und Assoziativität voraussetzen, ansonsten wirds echt häßlich, weil man dann in die Definition von $ [mm] \IR [/mm] $ gehen muß..."
also das mit der kommutativität ist ja einfach. da muss die tabelle symetrisch sein. sieht man an hand einer 'halbierenden' die von oben links nacht unten rechts verläuft.
also soll ich davon ausgehen, dass die assoziativität gilt, weil das schon für [mm] \IR [/mm] bewiesen wurde ?
zitat: "Dazu solltest Du dich fragen: Wenn Du zwei Zahlen $ [mm] \neq [/mm] 0 $ ->multiplizierst, ist das Ergebnis auch $ [mm] \neq [/mm] 0 $?"
ich wuerde spontan ja sagen^^ wäre das produkt null, wäre das elemtn kein teil der menge. ist das die antwort?
zitat:"Du mußt zeigen, daß für $ [mm] a,b,c\in \IZ_6 [/mm] $: $ (a+_6b)+_6c=a+_6(b+_6c) > $ ist. Das ist mit der Gruppentafel ziemlich lästig, weils ziemlich viele Möglichkeiten für die a,b,c gibt. Ich denke aber, daß Du die Assoziativität der "normalen" Addition auf $ [mm] \IR [/mm] $ benutzen darfst, und damit kann man die Assoziativität von $ +_6 $ beweisen, denn die ist ja mithilfe von "$ [mm] >+_\IR [/mm] $" definiert."
versteh ich nicht^^ wie soll ich die addition von $ [mm] \IR [/mm] $ nutzen?
ich hab hier neben der aufgabe eine randnotiz stehen: assoziativgesetz: nicht alle berechnen
kann diese notiz vllt bedeuten, dass ich doch einige beispiele durchrechnen soll. aber das wäre ja kein beweis!
(ist irgendwie lustig, dass ich euch nach der bedeutung einer notiz von mir frage :D)
ps:wie macht man hier zitate?
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Hallo nochmal!
> ps:wie macht man hier zitate?
Zitate macht man mit dem "zitieren"-Knopf unterhalb des Eingabefelds, oder manuel mit einem vorangestellten ">".
> zitat:"Du mußt zeigen, daß für [mm]a,b,c\in \IZ_6 [/mm]:
> [mm](a+_6b)+_6c=a+_6(b+_6c) >[/mm] ist. Das ist mit der Gruppentafel
> ziemlich lästig, weils ziemlich viele Möglichkeiten für die
> a,b,c gibt. Ich denke aber, daß Du die Assoziativität der
> "normalen" Addition auf [mm]\IR[/mm] benutzen darfst, und damit kann
> man die Assoziativität von [mm]+_6[/mm] beweisen, denn die ist ja
> mithilfe von "[mm] >+_\IR [/mm]" definiert."
>
> versteh ich nicht^^ wie soll ich die addition von [mm]\IR[/mm]
> nutzen?
> ich hab hier neben der aufgabe eine randnotiz stehen:
> assoziativgesetz: nicht alle berechnen
>
> kann diese notiz vllt bedeuten, dass ich doch einige
> beispiele durchrechnen soll. aber das wäre ja kein beweis!
> (ist irgendwie lustig, dass ich euch nach der bedeutung
> einer notiz von mir frage :D)
Wahrscheinlich soll es bedeuten, daß man nur einige Beispiele ausrechnen soll, ansonsten müßte man, dürfte man bloß die Tafel benutzen, alle 6*6*6 = 216 Kombinationen durchrechnen.
Mit meinem Kommentar hab ich gemeint: Wenn Du einen wirklichen Beweis machen willst, mußt Du auf die Definition von [mm] $\IZ_6$ [/mm] und $+_6$ eingehen. Darin kommt dann irgendwann mal die gewöhnliche Addition reeller Zahlen vor, und deren Assoziativität ist der Grund für die Assoziativität von $+_6$. (Die Definition von $a+_6b$ ist: addiere $a+b$ als reelle Zahlen, teile durch 6 und bilde den Rest...)
> ich hab gerade gesehen, dass ich da einen fehler gemacht
> habe. wahrscheinlich hast du ihn auch übersehen. ich wollte
> eigentlich das schreiben:
> (2,3)*(4,5) = (2*4, 3*5) = (8,15) oder war das andere etwa
> doch richtig?^^
jap, hab ihn übersehen
> zitat: "Ich denke, man darf die Kommutativität und
> Assoziativität voraussetzen, ansonsten wirds echt häßlich,
> weil man dann in die Definition von [mm]\IR[/mm] gehen muß..."
Damit meine ich, daß Du verwenden darfst, daß die Multiplikation von reellen Zahlen assoziativ und kommutativ ist, schließlich lernt man das in der Schule.
> zitat: "Dazu solltest Du dich fragen: Wenn Du zwei Zahlen
> [mm]\neq 0[/mm] ->multiplizierst, ist das Ergebnis auch [mm]\neq 0 [/mm]?"
>
> ich wuerde spontan ja sagen^^ wäre das produkt null, wäre
> das elemtn kein teil der menge. ist das die antwort?
Genau. Mit anderen Worten: Das Produkt von null verschiedener reeller Zahlen ist von null verschieden. Wenn wir dieses Argument auf jede Komponente anwenden, bekommen wir die Abgeschlossenheit.
Alles, was fehlt, ist die Existenz Inverser Elemente, aber das Inverse zu [mm] $(a_1,\dots,a_n)\in(\IR\setminus\{0\})^n$ [/mm] kann man ja direkt hinschreiben, oder?
Viele Grüße,
Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:31 Sa 18.10.2008 | | Autor: | mangaka |
okay, dann fass ich noch einmal zusammen:
zu b)
> Damit meine ich, daß Du verwenden darfst, daß die
> Multiplikation von reellen Zahlen assoziativ und kommutativ
> ist, schließlich lernt man das in der Schule.
ich kann also die kommutativität und assoziativität voraussetzen. aber kann man wirklich sagen, weil man das aus der schule kennt?
was bedeutet das dann? dass das allg. bekannt ist, dass für die multiplikation von reelen zahlen das kommutativ und assoziativgesetz gilt?
und noch was. hier geht es ja um paare bzw. n-tupel. ist das egal?
zu a)
> Wahrscheinlich soll es bedeuten, daß man nur einige
> Beispiele ausrechnen soll, ansonsten müßte man, dürfte man
> bloß die Tafel benutzen, alle 6*6*6 = 216 Kombinationen
> durchrechnen.
> Mit meinem Kommentar hab ich gemeint: Wenn Du einen
> wirklichen Beweis machen willst, mußt Du auf die Definition
> von [mm]\IZ_6[/mm] und [mm]+_6[/mm] eingehen. Darin kommt dann irgendwann mal
> die gewöhnliche Addition reeller Zahlen vor, und deren
> Assoziativität ist der Grund für die Assoziativität von
> [mm]+_6[/mm]. (Die Definition von [mm]a+_6b[/mm] ist: addiere [mm]a+b[/mm] als reelle
> Zahlen, teile durch 6 und bilde den Rest...)
ich würde sagen, ich mach dann ein paar beispiele. ich glaube nämlich nicht, dass ich den beweis führen kann^^
> Alles, was fehlt, ist die Existenz Inverser Elemente, aber
> das Inverse zu [mm](a_1,\dots,a_n)\in(\IR\setminus\{0\})^n[/mm] kann
> man ja direkt hinschreiben, oder?
ja das ist ja auch kein problem. wäre ja so ähnlich wie mit dem neutralem element(oder?^^ jaaaha...bin noch unsicher)
wenn ich das soweit richtig verstanden habe, ist das ja schon was!
ich dank dir vielmals, christian.
hast du vllt dann noch n tipp fuer c)? :D
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:19 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also du weißt ja aus der Def. einer Gruppe G, dass es zu jedem Element c der Gruppe ein inverses Element [mm] c^{-1}\in [/mm] G existiert mit [mm] c*c^{-1}=1, [/mm] wobei 1 das neutrale Element bzgl. der Gruppenverknüpfung sein soll.
Also gilt damit hier: [mm] (ab)(ab)^{-1}=1 [/mm] | Von links mit [mm] a^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] \Rightarrow a^{-1}(ab)(ab)^{-1}=a^{-1}*1=a^{-1} [/mm] | Assoziativgesetz der Gruppe anwenden
[mm] \Rightarrow(a^{-1}*a)b(ab)^{-1}=a^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b(ab)^{-1}=a^{-1} [/mm] | Von links mit [mm] b^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] \Rightarrow b^{-1}*b(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow.... [/mm] Fertig !
Gruß
Fry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Mo 20.10.2008 | | Autor: | mangaka |
Vielen Dank, Leute.
Das Forum hat mir wie immer weitergeholfen!
Hab jetzt die meisten Aufgaben gelöst.
Bis zur nächsten Übung :D
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:18 So 19.10.2008 | | Autor: | Fry |
Hallo,
also du weißt ja aus der Def. einer Gruppe G, dass es zu jedem Element c der Gruppe ein inverses Element [mm] c^{-1}\in [/mm] G existiert mit [mm] c*c^{-1}=1, [/mm] wobei 1 das neutrale Element bzgl. der Gruppenverknüpfung sein soll.
Also gilt damit hier: [mm] (ab)(ab)^{-1}=1 [/mm] | Von links mit [mm] a^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] \Rightarrow a^{-1}(ab)(ab)^{-1}=a^{-1}*1=a^{-1} [/mm] | Assoziativgesetz der Gruppe anwenden
[mm] \Rightarrow(a^{-1}*a)b(ab)^{-1}=a^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow b(ab)^{-1}=a^{-1} [/mm] | Von links mit [mm] b^{-1} [/mm] multiplizieren
[mm] \Rightarrow b^{-1}*b(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow.... [/mm] Fertig !
Gruß
Fry
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