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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:08 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
| Aufgabe | | hey! ich will zeigen, dass [mm] a_n=\bruch{5\cdot4^n+1}{5^n-1} [/mm] konvergiert und 0 als grenzwert hat |
ich will dies beweisen, in dem ich zeige, dass [mm] a_n [/mm] ab einem bestimmten glied kleiner als eine folge ist, von der ich weiß, dass sie gegen 0 strebt, und zwar [mm] \bruch{1}{n}. [/mm] Dies ist ab dem 21. glied der fall.
allerdings erweist sich zu zeigen, dass [mm] \bruch{5\cdot4^n+1}{5^n-1}<\bruch{1}{n} [/mm] ist für alle n außer endlich viele als unmöglich. aber ich finde einfach keine abschätzung für die folge... kann mir jemand helfen?
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Hallo,
wenn es denn unbedingt sein muss: hast du schon eine vollständige Induktion versucht? Falls es nur um die Konvergenz geht, weshalb faktorisierst du nicht einfach geeignet, so dass du ein Produkt der Form Nullfolge*konvergente Folge hast?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:27 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
> ... weshalb faktorisierst du nicht einfach
> geeignet, so dass du ein Produkt der Form
> Nullfolge*konvergente Folge hast?
hmmm wie meinst du das?
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Hallo,
> hmmm wie meinst du das?
im Zähler [mm] 4^n [/mm] und im Nenner [mm] 5^n [/mm] ausklammern und ausnutzen, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}q^n=0 [/mm] für |q|<1
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:35 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
danke schonmal,
aber ich kann doch aus [mm] 5\cdot4^n+1 [/mm] doch nicht [mm] 4^n [/mm] ausklammern und aus [mm] 5^n-1 [/mm] doch nicht [mm] 5^n [/mm] oder fehlen mir da rechenkniffe?^^ 
EDIT: autsch... tut mir lied, sehe jetzt erst was du gemeint hast, ich meld mich gleich nochmal
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Hallo anabiene,
> aber ich kann doch aus [mm]5\cdot4^n+1[/mm] doch nicht [mm]4^n[/mm]
> ausklammern und aus [mm]5^n-1[/mm] doch nicht [mm]5^n[/mm] oder fehlen mir da rechenkniffe?^^
Es gilt
[mm] $\bruch{5\cdot4^n+1}{5^n-1}=\frac{4^n(5+4^{-n})}{5^n(1-5^{-n})}=\left(\frac{4}{5}\right)^n \frac{5+4^{-n}}{1-5^{-n}} [/mm] $.
Der erste Faktor geht hier gegen Null, der zweite bleibt beschränkt.
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:42 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:43 Mi 07.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
man kann alles aus jedem ausklammern!
Bsp_ [mm] (ana+biene)=leduart*(\bruch{ana}{leduart}+\bruch{biene}{leduart})
[/mm]
also nochmal aus dem Zähler [mm] 4^n [/mm] aus dem Nenner [mm] 5^n [/mm] ausklammern
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:52 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
hihi, ein witziges beispiel
tut mir echt leid, ich hatte die frage vorhin schon gestellt und kurz danach hab ich das selber gesehen.
eine letzte frage noch, ist es wichtig, dass der 2. faktor beschränkt ist?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:00 Mi 07.12.2011 | | Autor: | anabiene |
oh mein gott ich blamier mich ja hier grad, die frage "eine letzte frage noch, ist es wichtig, dass der 2. faktor beschränkt ist?" ist ja sowas von doof, natürlich macht das was aus...
tut mir echt leid....
schönen abend noch und danke für alles!
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