h-Methode < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:08 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Hey Leute!
Unter welchem Namen findet man die h-Methode in einschlägiger Literatur? Unter dem Namen h-Methode finde ich z.B. im Bronstein nix.
Könnt ihr mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Fr 15.07.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
meinst du für Stetigkeit oder differenzieren?
a) unter [mm] \epsilon, \delta [/mm] Methode, oder
b eben einfach unter Differenzierbarkeit oder Stetigkeit.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "meinst du für Stetigkeit oder differenzieren? "
Gibts da unterschiedliche Methoden? Ich hab immer gedacht die h-Methode ist eine sehr umständliche Methode um auf die Ableitung einer Funktion zu kommen...
Ich hab jetzt im Bronstein dass hier gefunden:
$f'(x) = [mm] \lim_{\Delta x \to 0} [/mm] = [mm] \frac{f(x-\Delta x) - f(x)}{\Delta x}$
[/mm]
Ist das jetzt die h-Methode nur anstatt dem h ein [mm] $\Delta [/mm] x$?
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Hallo bandchef,
> Ich hab jetzt im Bronstein dass hier gefunden:
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> [mm]f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} = \frac{f(x-\Delta x) - f(x)}{\Delta x}[/mm]
>
> Ist das jetzt die h-Methode nur anstatt dem h ein [mm]\Delta x[/mm]?
Ja, das ist sie, auch wenn das zweite Gleichheitszeichen bestimmt nicht im Bronstein steht. Zumindest Semendjajew wäre es aufgefallen...
Ansonsten findest Du die "Methode" unter dem Stichwort Differenzenquotient.
Grüße
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Fr 15.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Zitat: "Ja, das ist sie, auch wenn das zweite Gleichheitszeichen bestimmt nicht im Bronstein steht. Zumindest Semendjajew wäre es aufgefallen..."
Das war ein Tipfehler. War/ist Semendjawew der bessere Mathematiker oder wie? *lach*
Zitat: "Ansonsten findest Du die "Methode" unter dem Stichwort Differenzenquotient."
Wenn ich unter Differenzenquotient nachschaue, dann lande ich auf Seite 968 was irgendwie nix mehr mit meinem Thema zu tun hat. Auch verstehe ich jetzt nicht was ich mit dem Differenzenquotient soll, wenn ich doch nun schon die richtige Formel für die "h-Methode" gefunden habe, welche aber anscheinend unter dem Namen Differentialquotient zu finden ist...
Was ist dann der Unterschied zwischen Differentialquotient (mir bekannt unter h-Methode) und Differenzenquotient (kenn ich zwar vom Namen her auch weiß ich aber jetzt nicht einzuordnen!)?
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1. Der Begriff "h-Methode" hat sich zwar irgendwie im Schüler- und Lehrersprech etabliert, ist aber wohl kein eigentlicher Fachbegriff der Mathematik. Das Wort "Methode" ist viel zu bombastisch für die einfache Sache, um die es geht.
2. Zwei verschiedene Stellen [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] auf der Zahlengeraden bestimmen auch die Differenz [mm]h = x - x_0[/mm] zwischen den beiden Stellen (wenn [mm]x[/mm] rechts von [mm]x_0[/mm] liegt, fällt [mm]h[/mm] positiv, im andern Fall negativ aus). Statt nun beiden Stellen einen Namen zu geben, kann man auch nur eine der beiden Stellen benennen, etwa [mm]x_0[/mm], und die zweite Stelle [mm]x[/mm] dadurch kennzeichnen, daß man die Differenz [mm]h[/mm] zu [mm]x_0[/mm] addiert. Das ist gehopst wie gesprungen.
[mm]h = x - x_0 \ \ \Leftrightarrow \ \ x = x_0 + h[/mm]
Wenn der Bezinpreis für den Liter gestern [mm]x_0 = 1{,}38[/mm] € und heute [mm]x = 1{,}42[/mm] € beträgt, dann ist der Preis um [mm]h = x - x_0 = 0{,}04[/mm] € angestiegen. Man hat aber dieselbe Information, wenn man sagt: Gestern betrug der Bezinpreis [mm]x_0 = 1{,}38[/mm] € und ist auf heute um [mm]h = 0{,}04[/mm] € angestiegen. Dann beträgt er heute eben [mm]x = x_0 + h = 1{,}42[/mm] €.
3. Der Differenzenquotient - der Name ist selbsterklärend - ist das Verhältnis der Differenzen von [mm]y[/mm]-Werten und [mm]x[/mm]-Werten einer Funktion [mm]f[/mm]. Die zu [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] gehörigen [mm]y[/mm]-Werte sind [mm]f(x_0)[/mm] und [mm]f(x)[/mm]. Daher ist
[mm]\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/mm]
der Differenzenquotient der Funktion [mm]f[/mm]. Im Nenner steht die Differenz [mm]h[/mm], und bei [mm]f(x)[/mm] im Zähler kann man [mm]x[/mm] durch [mm]x_0 + h[/mm] ersetzen. Damit ist
[mm]\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm]
genau so gut der Differenzenquotient. Und soll man jetzt tatsächlich diese völlig triviale Umbenennung als zwei "Methoden" ausgeben?
4. Man kann nun untersuchen, wie sich der Differenzenquotient verhält, wenn man [mm]x[/mm] immer näher an [mm]x_0[/mm] wählt oder, was dasselbe ist, wenn man [mm]h[/mm] dem Betrage nach immer kleiner macht. Wenn der Limes des Differenzenquotienten für [mm]x \to x_0[/mm], d.h. [mm]h \to 0[/mm], existiert, dann nennt man diesen Limes die Ableitung der Funktion [mm]f[/mm] an der Stelle [mm]x_0[/mm]:
[mm]f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm]
Früher dachte man, man könne die Ableitung als Verhältnis unendlich kleiner Größen auffassen (der Limesbegriff hat sich erst im 19. Jahrhundert herausgebildet, Ableitungen gibt es aber schon im 17. Jahrhundert). Diese unendlich kleinen Größen nannte man Differentiale und bezeichnete sie mit [mm]\mathrm{d}x[/mm] und [mm]\mathrm{d}y[/mm]. Entsprechend sprach man vom Differentialquotienten [mm] \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} [/mm] statt von der Ableitung. Für den täglichen Gebrauch kannst du daher die Begriffe Differentialquotient und Ableitung identifizieren.
Was du dagegen nicht tun darfst: Differenzenquotient und Differentialquotient identifizieren.
Der Differenzenquotient hängt von zwei Größen ab, nämlich von [mm]x_0[/mm] und [mm]x[/mm] bzw. von [mm]x_0[/mm] und [mm]h[/mm]. Sein Limes für [mm]x \to x_0[/mm] bzw. [mm]h \to 0[/mm] hängt nur noch von einer Größe ab, nämlich von [mm]x_0[/mm]. Und das ist dann der Differentialquotient, sprich: die Ableitung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Mo 18.07.2011 | | Autor: | bandchef |
Danke!
Ich hatte bisher immer gedacht, dass $ [mm] \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] $ und $ [mm] \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} [/mm] $ zwei völlig unterschiedliche, voneinander getrennt zu betrachtende mathematische Konstrukte sind. Jetzt ist es mir aber klar, dass das eigentlich ein und das selbe ist und das gilt: $ [mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} [/mm] = [mm] \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} [/mm] $
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Hallo bandchef,
> Danke!
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> Ich hatte bisher immer gedacht, dass [mm]\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}[/mm]
> und [mm]\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm] zwei völlig
> unterschiedliche, voneinander getrennt zu betrachtende
> mathematische Konstrukte sind. Jetzt ist es mir aber klar,
> dass das eigentlich ein und das selbe ist und das gilt:
> [mm]f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}[/mm]
Jo, wenn dieser Grenzwert denn auch existiert, nennt man ihn [mm] $f'(x_0)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") sehr gut erklärt !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:56 Mo 18.07.2011 | | Autor: | reverend |
Hallo Leopold,
> sehr gut erklärt !
Dem schließe ich mich gerne an. Ich habe schon vor Tagen überlegt, ob ich das äußern sollte. Das ist eine Erklärung, die ich auch in Zukunft gern verlinken werde.
Grüße
reverend
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