h(x) = max von f(x), g(x) < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Seien a,b [mm] \in [/mm] R, a < b und sei x0 [mm] \in [/mm] (a,b). Seien f,g : (a,b) differenzierbar. Zeigen Sie, dass die Funktion h: (a,b) --> R, h(x) = max{f(x), g(x)} im Punkt x0 genau dann differenzierbar ist, wenn entweder f(x0) [mm] \not= [/mm] g(x0) oder wenn f(xo) = g(x0) und f`(x0) = g `(xo) gilt. |
Hallihallo,
ich bin immernoch dabei, mich für die Anaklausur vorzubereiten... bin jetzt auf diese aufgabe gestoßen. Mmh, ich hab mir gedacht, dass ich das ganze mit LHospital und dem Mittelwertsatz machen könnte, als ich hab mir überlegt, dass ja der lim h(x) - h(b) / x-b zum beispiel das gleiche ist wie der lim h'(x) /1. Und dass es laut MWS ein x0 [mm] \in [/mm] (a,b) gibt mit h'(x0) = h(x) - h(b) /x-b zum beispiel. aber so richtig kriege ich das ganze nicht auf einen grünen Zweig. Vielleicht kann jemand von euch helfen und hat eine idee?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Do 05.02.2009 | | Autor: | iks |
Hallo MissPocahontas!
Klar ist das zwei verschiedene Richtungen zu zeigen sind gell?
[mm] $\Rightarrow$
[/mm]
Sei [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] $a<b$ und $(a,b)$ ein Interval. $f,g$ Funktionen [mm] $(a,b)\to\IR$ [/mm] auf $(a,b)$ diff'bar.
Sei weiterhin [mm] $h:(a,b)\to\IR$ $x\to h(x):=\max\{f(x),g(x)\}$ [/mm] in [mm] $x_0\in [/mm] (a,b)$ diffbar. Dann:
Das Maximum zweier Zahlen in [mm] $\IR$ [/mm] ist:
[mm] $\max(a,b)=\frac{1}{2}(a+b+|a-b|)$
[/mm]
Da $h$ in [mm] x_0 [/mm] Diffbar ist existiert [mm] $C\in\IR$:
[/mm]
[mm] $C=h'(x_0)=\lim_{x\to x_0}{\frac{h(x)-h(x_0)}{x-x_0}}=\lim_{x\to x_0}\frac{\frac{1}{2}(f(x)-g(x)+|f(x)-g(x)|)-\frac{1}{2}(f(x_0)+g(x_0)+|f(x_0)-g(x_0)|)}{x-x_0}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{2}f'(x_0)+\frac{1}{2}g'(x_0)+\frac{1}{2}\frac{|f(x)-g(x)|-|f(x_0)-g(x_0)|}{x-x_0}$
[/mm]
Habe im letzten Schritt nur die jeweiligen Funktionen zusammengeschrieben und da $f,g$ diffbar waren existieren somit auch die Ableitungen.
Der letzte Summand ist wieder ein Differenzenquotient eine Hilffunktion $t=|f-g|$ ist nun aber (vgl mit der Betragsfunktion ) auf [mm] $\IR\backslash\{0\}$ [/mm] diffbar also wenn [mm] $f(x_0)\neq g(x_0)$ [/mm] ist.
Auf ähnliche Art kannst du bestimmt den zeiten Teil [mm] (f(x_0)=g(x_0) [/mm] und [mm] f'(x_0)=g'(x_0)) [/mm] knacken.
den Rückweg hab ich nicht probiert.
hoffe das war soweit richtig
mFg iks
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Do 05.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> ich bin immernoch dabei, mich für die Anaklausur
> vorzubereiten... bin jetzt auf diese aufgabe gestoßen. Mmh,
> ich hab mir gedacht, dass ich das ganze mit LHospital und
> dem Mittelwertsatz machen könnte, als ich hab mir überlegt,
> dass ja der lim h(x) - h(b) / x-b zum beispiel das gleiche
> ist wie der lim h'(x) /1. Und dass es laut MWS ein x0 [mm]\in[/mm]
> (a,b) gibt mit h'(x0) = h(x) - h(b) /x-b zum beispiel. aber
> so richtig kriege ich das ganze nicht auf einen grünen
> Zweig. Vielleicht kann jemand von euch helfen und hat eine
> idee?
Also falls [m]f(x_0)\neq g(x_0)[/m], dann gilt dies auch in einer Umgebung - und damit ist h entweder gleich f oder g in dieser und damit aie Aufgabe gelöst. Der einzig interessante Fall ist [m]f(x_0)=g(x_0)[/m]: Falls die Ableitungen gleich sind, bedeutet dies, dass die jeweiligen Diff.quotien von f bzw. g gegen den gleichen Wert konvergieren, damit auch der von h (das müsstest du etwas ausführen - was heißt es genau, wenn es diff.bar ist?). Falls die Ableitungen ungleich sind, dann gibt es ein [m]\varepsilon[/m] so dass OBdA [m]f>g \mbox{ auf } (0,\varepsilon)[/m] und [m]g>f \mbox{ auf } (\varepsilon,0)[/m], und somit kann dann h nicht diff.bar sein (wieso?).
SEcki
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Hey,
ich danke euch , das mit dem Differenzequotienten habe ich auch so gemacht, also nachgewiesen, dass es dann diffbar ist, wenn die anforderungen gelten. Und wenn f `größer is als g`oder eben umgekehrt, dann ist es doch so, dass der grenzwert des differenzenqoutienten nicht existiert, da wir nicht die voraussetzung haben, dass f oder g beschränkt ist, oder?
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Ich hätte doch noch eine kleine Frage, also wenn die Ableitung und die Funktionen an der stelle xo gleich sind, ist es mir ganz klar, was ich da zeigen muss. wenn aber die ableitungen nicht gleich sind, dann kann ich ja keinen Differenzenquotienten sinnvoll hinschreiben, weil der auf den beiden Intervallen jeweils unterschiedlich ist, richtig? Reicht das als Begründung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 12.02.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich hätte doch noch eine kleine Frage, also wenn die
> Ableitung und die Funktionen an der stelle xo gleich sind,
> ist es mir ganz klar, was ich da zeigen muss. wenn aber die
> ableitungen nicht gleich sind, dann kann ich ja keinen
> Differenzenquotienten sinnvoll hinschreiben, weil der auf
> den beiden Intervallen jeweils unterschiedlich ist,
> richtig?
Bitte was? Also den Diff.quotienten kann man immer hinschreiben - kein Problem. Wenn die Ableitungen baer nicht gleich sind, dann divergiert der für h allerdings wenn es gegen [m]x_0[/m] geht. Das liegt wiederum daran, dass der rechtsseitge GW gegen die eine Ableitung, der linksseite dann aber gegen die andere Ableitung konvergiert - und das muss man noch begründen.
SEcki
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