häufungspunkte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Di 25.11.2008 | | Autor: | jura |
| Aufgabe | | gibt es eine folge, deren häufungspunkte genau die positiven reellen zahlen sind? |
also, wenn ich eine abzählung von [mm] \IQ [/mm] vornehme, also die rationalen zahlen als folge schreibe, so ist jede reelle zahl ein HP (denn jede [mm] \epsilon- [/mm] umgebung um eine reelle zahl enthält ja unendlich viele rationale zahlen.
aber wie gehe ich nun den schritt, damit ich nur noch die positiven reellen zahlen als HP habe?
danke und viele grüße
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Statt Folgen zu konstruieren, frag Dich mal nach der Mächtigkeit der Menge Deiner Folgenglieder und der der positiven reellen Zahlen. Falls dabei Wissen nötig ist, dass Ihr offiziell noch nicht zur Verfügung habt, dürfte Cantors Diagonbeweis zur Unterstützung genügen. Der ist leicht zu verstehen.
edit:
Ein interessantes Paradoxon. Obwohl die Mächtigkeit der positiven reellen Zahlen überabzählbar Unendlich ist, die der rationalen Zahlen aber nur abzählbar Unendlich, ist nach der Definition eines Häufungspunkts (unendlich viele Folgenglieder in beliebig kleiner [mm] \blue{\varepsilon-Umgebung)} [/mm] juras Ansatz richtig - siehe folgende Mitteilung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:51 Di 25.11.2008 | | Autor: | reverend |
Jetzt, wo ich zu dieser Aufgabe zurückkehre, kann ich Deiner Idee doch folgen, jura. Nimm einfach eine Abzählung von [mm] \IQ^+ [/mm] vor, dann ist in der Tat jedes [mm] s\in\IR^+ [/mm] ein Häufungspunkt.
Abzählung: z.B. [mm] \bruch{1}{1}, \bruch{2}{1}, \bruch{1}{2}, \bruch{3}{1}, \bruch{2}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{4}{1}, \bruch{3}{2}, \bruch{2}{3}, \bruch{1}{4}, \bruch{5}{1}, \bruch{4}{2}, \bruch{3}{3}, \bruch{2}{4}, \bruch{1}{5}, [/mm] etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:02 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Jetzt, wo ich zu dieser Aufgabe zurückkehre, kann ich
> Deiner Idee doch folgen, jura. Nimm einfach eine Abzählung
> von [mm]\IQ^+[/mm] vor, dann ist in der Tat jedes [mm]s\in\IR^+[/mm] ein
> Häufungspunkt.
Und 0 ist auch einer.
FRED
>
> Abzählung: z.B. [mm]\bruch{1}{1}, \bruch{2}{1}, \bruch{1}{2}, \bruch{3}{1}, \bruch{2}{2}, \bruch{1}{3}, \bruch{4}{1}, \bruch{3}{2}, \bruch{2}{3}, \bruch{1}{4}, \bruch{5}{1}, \bruch{4}{2}, \bruch{3}{3}, \bruch{2}{4}, \bruch{1}{5},[/mm]
> etc.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:04 Di 25.11.2008 | | Autor: | reverend |
Stimmt natürlich.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Di 25.11.2008 | | Autor: | jura |
ok, sehr schön, dass ich gar nicht so auf dem falschen pfade war...
ich versteh nur leider deine abzählung nicht so ganz?! wie könnte man eine solche folge allgemein formulieren (oder reicht es, wenn ich angebe, dass ich eine abzählung von [mm] \IQ_+ [/mm] vornehme?)
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Das lässt sich zwar formulieren, wird aber unübersichtlich.
Häufig wird die obere linke Ecke einer unendlichen Tabelle abgebildet und mit Abzählungspfeilen versehen.
Dabei stehen in der ersten Zeile alle Brüche mit dem Zähler 1, angeordnet nach aufsteigendem Nenner, in der zweiten Zeile die mit dem Zähler 2, in der dritten 3, usw. Die Abzählung beginnt dann links oben und geht in Diagonalen weiter. Beginn der Diagonalen ist immer in der ersten Spalte beim ersten noch nicht genutzten Bruch.
Wenn Du Dir das mal visualisierst, kommst Du auch leicht auf eine Formulierung - aber wie gesagt, ist hier die exakte Formelsprache nicht so gut zu verstehen wie die Abbildung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:05 Mi 26.11.2008 | | Autor: | jura |
ah, ja, doch, habs mir mal aufgemalt--ist recht gut verständlich, danke!
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Hey...
auch ich darf mich mit dieser Aufgabe beschäftigen und habe daher eure Diskussion mal mitverfolgt und auch mal so eine Tabelle über die Abzählbarkeit aufgestellt. Diese habe ich hier vor mir. Das Prinzip habe ich schon verstanden, aber reicht das, es so als Lösung zu formulieren, oder wäre es nicht besser es anders aufzuschreiben?
Viele liebe Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:26 Sa 29.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> gibt es eine folge, deren häufungspunkte genau die
> positiven reellen zahlen sind?
> also, wenn ich eine abzählung von [mm]\IQ[/mm] vornehme, also die
> rationalen zahlen als folge schreibe, so ist jede reelle
> zahl ein HP (denn jede [mm]\epsilon-[/mm] umgebung um eine reelle
> zahl enthält ja unendlich viele rationale zahlen.
>
> aber wie gehe ich nun den schritt, damit ich nur noch die
> positiven reellen zahlen als HP habe?
>
> danke und viele grüße
Eine solche Folge gibt es nicht. Wäre (0, [mm] \infty) [/mm] die Menge der Häufungspunkte einer Folge, so ist diese menge abgeschlossen, also 0 [mm] \in [/mm] (0, [mm] \infty), [/mm] aber das ist absurd.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:30 Di 25.11.2008 | | Autor: | SpoOny |
> Eine solche Folge gibt es nicht. Wäre (0, [mm]\infty)[/mm] die Menge
> der Häufungspunkte einer Folge, so ist diese menge
> abgeschlossen, also 0 [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty),[/mm] aber das ist
> absurd.
(- [mm] \infty,\infty) [/mm] soll doch die Menge der Häufungspunkte sein, oder?
Wie widerlege ich das den mathematisch korrekt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:39 Di 25.11.2008 | | Autor: | fred97 |
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> > Eine solche Folge gibt es nicht. Wäre (0, [mm]\infty)[/mm] die Menge
> > der Häufungspunkte einer Folge, so ist diese menge
> > abgeschlossen, also 0 [mm]\in[/mm] (0, [mm]\infty),[/mm] aber das ist
> > absurd.
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> (- [mm]\infty,\infty)[/mm] soll doch die Menge der Häufungspunkte
> sein, oder?
Das war die Frage:
gibt es eine folge, deren häufungspunkte genau die positiven reellen zahlen sind?
FRED
> Wie widerlege ich das den mathematisch korrekt?
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