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Ich beschäftige mich gerade mit halbeinfachen Moduln. Dabei bin ich auf ein paar grundlegende Probleme gestoßen und hoffe, dass mir jemand helfen kann.
1. Was ist das besondere an der direkten Summe im Vergleich zur einfachen Summe von Moduln?
2. Wie kann es sein, dass ein einfacher Modul nicht halbeinfach ist? Ist ein einfacher Modul nicht die direkte Summe von sich selbst? Es wäre toll, wenn mir jemand ein Gegenbeispiel anführen könnte.
3. Wie genau sind die isotypischen Komponenten eines Moduls definiert?
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> 1. Was ist das besondere an der direkten Summe im Vergleich
> zur einfachen Summe von Moduln?
Nimm zwei Untermoduln A und B eines Moduls M.
Die Summe A+B:={a+b : [mm] a\in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B} ist ein Untermodul von M.
Gilt A [mm] \cap [/mm] B =0, so schreibt man A [mm] \oplus [/mm] B.
Sein nun x [mm] \in [/mm] A [mm] \oplus [/mm] B. Dann läßt sich x eindeutig darstellen als x=a+b mit a [mm] \inA [/mm] und [mm] B\in [/mm] B.
> 2. Wie kann es sein, dass ein einfacher Modul nicht
> halbeinfach ist? Ist ein einfacher Modul nicht die direkte
> Summe von sich selbst? Es wäre toll, wenn mir jemand ein
> Gegenbeispiel anführen könnte.
Steht das irgendwo so?
Das ist doch umgekehrt, oder bin ich jetzt wirr?
einfach ==> halbeinfach
Die Umkehrung gilt nicht. Denn seien A,B einfach und [mm] 0\noteq [/mm] M= A [mm] \oplus [/mm] B, also M halbeinfach.
Dann ist z.b. A [mm] \oplus [/mm] 0 ein Untermodul von M. Es sind also nicht nur M und 0 Untermodule von M. Also ist M nicht einfach.
> 3. Wie genau sind die isotypischen Komponenten eines
> Moduls definiert?
Hier kann ich leider nur mit meinem Hausfrauenverstand antworten: Komponenten gleichen Typs vielleicht?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 20.10.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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