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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Di 31.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Habe da folgende Aufgabe bekommen:
Untersuche, ob die Folge (an)n element N mit
[mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{k}
[/mm]
konvergiert. [nebenbei: Muss das nicht eigentlich "Reihe" heissen anstelle von "Folge"?]
Ich gehe jetzt davon aus, dass eine bestimmte endliche Menge aufaddiert wird, nähmlich genau 2n Elemente. Kann man daraus schließen, dass die Reihe in jedem Fall konvergieren kann? Nimmt man z.B. für n=1, so werden nur die beiden Elemente [mm] \bruch{1}{1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2} [/mm] aufaddiert, macht zusammen [mm] \bruch{3}{2}. [/mm] Kann man dann sagen, dass hier ein Grenzwert erreicht wird, nähmlich genau [mm] \bruch{3}{2}? [/mm] Desweiteren ist 1/k doch eigentlich die harmonische Reihe und divergiert, oder gilt das nur für das aufaddieren von unendlich vielen Elementen? Wäre nett, wenn mir jemand einen Denkanstoss geben könnte, denn ich verstehe die Aufgabenstellung zwar, weis aber nicht so recht wie es jetzt weiter gehen soll.
MfG
Mopetz
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gepostet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:38 Di 31.05.2005 | | Autor: | terrier |
also zumindest stimmt das was du für die harmonische reihe reihe ausgesagt hast.desweiteren würd ich dir auch für deine aussage bzgl der folge zustimmen,bin mir aber nicht sicher und wär an einer richtigen antwort interessiert.meint der aufgabensteller u.U. die folge der partialsummen?
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Hallo,
> Habe da folgende Aufgabe bekommen:
> Untersuche, ob die Folge (an)n element N mit
>
> [mm]\summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{k}[/mm]
> konvergiert. [nebenbei:
schätze die Folge [mm]a_{n} \; = \;\sum\limits_{k = n}^{2n} {\frac{1}{k}}
[/mm] nach oben und nach unten ab.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 31.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Hmm. Konvergenz kann man doch immer zeigen, wenn man zeigt, das die Reihe zum einen Beschränkt ist, zum anderen monoton ist, oder gilt das nur für Folgen?
Ansonsten könnte ich doch sofort sagen, das meine untere Schranke bei [mm] \bruch{1}{n} [/mm] liegt, und meine obere Schranke [mm] \bruch{1}{2n} [/mm] entspricht.
Bei der Untersuchung von Monotonie zeigt sich, dass es sich um eine streng monoton fallende Reihe handelt, da ja offensichtlich [mm] \bruch{1}{n} [/mm] > [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] >....> [mm] \bruch{1}{n+n} (=\bruch{1}{2n})
[/mm]
oder verwechsele ich da etwas und aussagen über Monotonie sind bei Reihen nicht möglich, sondern wirklich nur über Folgen?
Ich höre den Begriff "Abschätzen" im Zusammenhang mit Reihen immer wieder, kann damit aber nicht so recht etwas anfangen. Habe im Internet mich danach schon umgeschaut, aber dieser Begriff wird einfach zu oft in anderen Zusammenhängen gebraucht, als das ich erklärendes Material finde (zumindest habe ich noch keines gefunden). Meint "Abschätzen" den Vergleich mit einer anderen (divergenten oder konvergenten) Reihe? Geht es da irgendwie um das Vergleichskriterium?
Kann mir jemand kurz und knapp erklären was mit Abschätzen gemeint ist, vielleicht an ein bis zwei Beispielen oder der gestellten Aufgabe? Vielen Dank für Eure Hilfe im vorraus!
MfG
Mopetz
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Hallo,
> Hmm. Konvergenz kann man doch immer zeigen, wenn man zeigt,
> das die Reihe zum einen Beschränkt ist, zum anderen monoton
> ist, oder gilt das nur für Folgen?
Das gilt auch für Folgen.
> Ansonsten könnte ich doch sofort sagen, das meine untere
> Schranke bei [mm]\bruch{1}{n}[/mm] liegt, und meine obere Schranke
> [mm]\bruch{1}{2n}[/mm] entspricht.
eine untere Schranke für die [mm]a_{n}[/mm] ist [mm]\bruch{n+1}{2n}[/mm]. Obere Schranke für die [mm]a_{n}[/mm] ist [mm]\bruch{n+1}{n}[/mm].
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:55 Di 31.05.2005 | | Autor: | Mopetz |
Was heisst den "eine untere Schrank" gibt es quasi beliebig viele untere bzw. obere Schranken für an? Ich dachte mit unterer / oberer Schranke ist mein kleinstmöglichstes bzw. größtmöglichstes Reihenglied gemeint. Oder heisst Schranke im Bezug auf Reihen, das ich im Falle einer unteren Schranke mir irgendeinen Wert suche der kleiner ist als die Gesamtsumme der einzelnen Reihenglieder. Und analog obere Schranke entspricht irgendeinem Wert der größer ist als meine Gesamtsumme der einzelnen Reihenglieder? (Anstelle von Reiheglied spricht man auch von Partialsumme, richtig?)
So langsam komme ich der Sache näher...
Tschau,
Mopetz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:54 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Mopetz!
Noch einmal: Es geht hier nicht um eine Reihe, sondern um eine Folge, nämlich die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Von dieser Folge haben wir gezeigt, dass sie nach oben und unten beschränkt ist. Zudem habe ich den Beweis angefangen (den du bitte zu Ende führen sollst), dass die Folge monoton fallend ist. Dann bist du fertig.
Viele Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Mopetz |
Die Monotonie zu zeigen ist für mich kein Problem. Es gibt die Möglichkeit sich den Bruch [mm] \bruch{an+1}{an} [/mm] anzuschauen, ob er größer oder kleiner 1 ist, oder in deinem Fall (an+1)-(an) sich anzuschauen. Wenn hier bei das Ergebnis ungleich 0 ist, habe wir Monotonie. Nach deinem Anfang, sieht man bereits nach dem Zusammenfassen, das der Nenner kleiner als 0 ist. Der Zähler bleibt aufgrund von n e N in jedem Fall positiv. So hat man dann (streng) fallende Monotonie gezeigt. Das eigentliche Rechnen, Umformen usw. an solchen Aufgabe bereitet mir überhaupt keine Schwierigkeiten. Ich wollte einfach nur im Bezug auf Schranken nochmal Klarheit haben und genau verstehen, was ich da eigentlich zusammenrechne.
Tschau,
Mopetz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:27 Do 02.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wir haben ja jetzt (relativ leicht) gezeigt, dass die Folge monoton und beschränkt ist.
Was also genau ist jetzt noch deine Frage? Oder ist jetzt alles geklärt? 
Ich gehe mal von Letzterem aus...
Vielleicht noch zu den Schranken: Es reicht irgendeine obere und irgendeine untere Schranke anzugeben. Es muss nicht die kleinste oberste/größte unterste Schranke sein.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Do 02.06.2005 | | Autor: | Mopetz |
Richtig, ich wusste nicht ob es die kleinstmöglichste Schranke, oder ob es irgendeine sein kann!
Danke Euch allen für die Hilfe!
MfG
Mopetz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:48 Di 31.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Wie von Mathepwoer gezeigt, ist die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] beschränkt. Wenn man großzügig ist, dann kann man
$0.5 [mm] \le a_n \le [/mm] 2$ für alle $n [mm] \in \IN$
[/mm]
abschätzen. Wenn wir nun noch zeigen, dass die Folge [mm] $(a_n)_{n \in \IN}$ [/mm] monoton fallend ist, dann haben wir die Konvergenz gezeigt.
Es gilt aber:
[mm] $a_{n+1} [/mm] - [mm] a_n$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2n+2} [/mm] + [mm] \frac{1}{2n+1} [/mm] - [mm] \frac{1}{n}$
[/mm]
$= [mm] \frac{(2n+1)n + (2n+2)n - (2n+2)(2n+1)}{(2n+2)(2n+1)n}$
[/mm]
$= [mm] \frac{2n^2+n + 2n^2+2n - 4n^2-6n-2}{(2n+2)(2n+1)n}$
[/mm]
$= [mm] \ldots$
[/mm]
Schaffst du den Rest jetzt selber?
Viele Grüße
Stefan
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