harmonisches und arithmetisch < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich beschäftige mich seit geraumer Zeit mit dem Vergleich des harmonischen und des arithmetischen Mittels..
harmonisches Mittel: 2ab/ (a+b)
arithmetisches Mitte: (a+b)/2
ich soll nur beweisen, dass das harmonische Mittel für alle a,b>0 kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel ist..Ich würde das an dieser Stelle mittels Induktion machen
Induktionsvoraussetzung:
2ab/(a+b) [mm] \le [/mm] (a+b)/2
also im Induktionsschritt (a-> (a+1))
(2ab+2b)/(a+b+1) [mm] \le [/mm] (a+1+b)/2
es sieht eigentlich ganz simpel aus..doch wie kann ich diese Ungleichung soweit umformen, dass ich die Induktionsvoraussetzung einsetzten kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Alex1993!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
> Ich beschäftige mich seit geraumer Zeit mit dem Vergleich
> des harmonischen und des arithmetischen Mittels..
> harmonisches Mittel: 2ab/ (a+b)
> arithmetisches Mitte: (a+b)/2
>
> ich soll nur beweisen, dass das harmonische Mittel für
> alle a,b>0 kleiner oder gleich dem arithmetischen Mittel
> ist..Ich würde das an dieser Stelle mittels Induktion
> machen
Induktion ist hier nicht angebracht. Dazu müssten [mm] $a,b\in\mathbb [/mm] N$ sein...
Forme einfach [mm] $\frac{2ab}{a+b}\le\frac{a+b}{2}$ [/mm] um, bis du eine Aussage/Ungleichung hast, die sicher wahr ist.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
ich beschäftige mich seit kurzen mit einer Ungleichungsaufgabe, es geht darum zu beweisen das das harmonische Mittel kleiner/gleich dem arithmetischem Mittel ist:
also:
2ab/a+b [mm] \le [/mm] (a+b)/ 2
ich habe die Ungleichung soweit umgeformt das :
[mm] \left( \bruch{4ab}{a+b} \right) \le [/mm] (a+b)
gilt..
doch wie forme ich sie weiter um sodass die Gleichung am Ende Sinn macht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal!
Bitte schreibe Rückfragen doch bitte in den ursprünglichen Thread.
> ich habe die Ungleichung soweit umgeformt das :
> [mm]\left( \bruch{4ab}{a+b} \right) \le[/mm] (a+b)
> gilt..
> doch wie forme ich sie weiter um sodass die Gleichung am
> Ende Sinn macht?
Multipliziere die Ungleichung mit $a+b$ (so, wie du es schon mit der 2 gemacht hast). Dann ausmultiplizieren, binomische Formel, alles auf eine Seite...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
dann ergibt sich:
0 [mm] \le [/mm] (a-b)²
die Gleichung ergibt ja nur insoweit einen Sinn, dass a [mm] \ge [/mm] b ist... aber wie kann ich dies nun beweisen?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Alex1993 |
ach herrje.. hätte mir auch auffalen können..danke..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Sa 09.11.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo Alex!
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
Nöö, das nicht. Aber Du hast dieselbe Frage schon in diesem Forum gestellt.
Bitte vermeide in Zukunft derartige Doppelposts. Ich habe jetzt beide Threads zusammengeführt.
Gruß
Loddar
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