hebbare Lücken und Pol < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:35 Do 24.03.2011 | | Autor: | Milde |
y = x-2/x(X-2)
Ich dachte das hätte keinen Grenzwerte bei X0
und wäre somit mit Pol,
aber die Lösung sagt, es hat 2 Definitionslücken (was mir auch klar ist
2 und 0)
und es wäre hebbar bei 2 und Pol bei 0
Ich kapiere das beim besten Willen nicht.
Danke schon jetzt
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> y = x-2/x(X-2)
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> Ich dachte das hätte keinen Grenzwerte bei X0
> und wäre somit mit Pol,
> aber die Lösung sagt, es hat 2 Definitionslücken (was
> mir auch klar ist
> 2 und 0)
> und es wäre hebbar bei 2 und Pol bei 0
Guten Tag Milde,
wie soll die Gleichung nun wirklich lauten ?
wenn ich sie z.B. genau so, wie sie da steht,
allerdings mit lauter Kleinbuchstaben eingebe,
so wird sie so interpretiert:
1.) [mm] y=x-\frac{2}{x}*(x-2)
[/mm]
siehe ![[]](/images/popup.gif) Wolfram Alpha
Das ergibt eine Funktion mit einer Definitions-
lücke (=Polstelle) bei x=0 .
Eigentlich kann man nur vermuten, dass du
aber wohl
2.) [mm] y=\frac{x-2}{x*(x-2)}
[/mm]
gemeint hast.
Diese Funktion hat die beiden Definitionslücken
[mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=2 [/mm] , da Division durch 0 nicht geht.
Um das genaue Verhalten an diesen Stellen zu
klären, braucht man die einseitigen Grenzwerte
[mm] $\limes_{x\downarrow0}\ [/mm] y(x)$ [mm] $\limes_{x\uparrow0}\ [/mm] y(x)$ [mm] $\limes_{x\downarrow2}\ [/mm] y(x)$ [mm] $\limes_{x\uparrow2}\ [/mm] y(x)$
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 Do 24.03.2011 | | Autor: | Milde |
Danke, aber warum ist bei 2 eine hebbare Lücke und bei 0 ein Pol.
Ich dachte Pol gäbe es nur bei y-Werten, die ins Unermessliche gehen?
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Hallo MIlde,
> Danke, aber warum ist bei 2 eine hebbare Lücke und bei 0
> ein Pol.
> Ich dachte Pol gäbe es nur bei y-Werten, die ins
> Unermessliche gehen?
2 ist eine hebbare Lücke, weil die Vielfachheit der
Nullstelle x=2 im Zähler, und Nenner gleich ist.
0 ist ein Pol, weil die Vielfachheit der
Nullstelle x=0 im Zähler, kleiner als die im Nenner ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:30 Do 24.03.2011 | | Autor: | Milde |
Kann ich das dann zusammenfassend so sehen,
wenn keine Vielfachheit dann Pol, wenn Vielfachheit dann hebbar,
obwohl und es hat nichts damit zu tun, ob im Zähler Potenzen stehen oder nicht?
Vielen Dank für Deine Hilfe
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Hallo Milde,
> Kann ich das dann zusammenfassend so sehen,
> wenn keine Vielfachheit dann Pol, wenn Vielfachheit dann
> hebbar,
> obwohl und es hat nichts damit zu tun, ob im Zähler
> Potenzen stehen oder nicht?
Das kommt sehr wohl darauf an,
wie die Vielfachheit der betrachteten Nullstelle
im Zähler und Nenner ist.
Mehr dazu hier: Polstelle rationaler Funktionen
>
> Vielen Dank für Deine Hilfe
Gruss
MathePower
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> Danke, aber warum ist bei 2 eine hebbare Lücke und bei 0
> ein Pol.
> Ich dachte Pol gäbe es nur bei y-Werten, die ins
> Unermessliche gehen?
Ja.
Hast du denn die angegebenen einseitigen Grenzwerte
wirklich bestimmt ?
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Do 24.03.2011 | | Autor: | Milde |
Also ich den Bruch gekürzt, sodass nur nur 1/X übrigbleibt,
dann ist die Denfinitionslücke also 0, dann gibt es auch keinen Grenzwert und den Pol.
Wenn ich den Bruch nicht kürze, dann sind die Definitionslücken 0 und 2,
aber dann weiß ich nicht mehr weiter. Leider kapiere ich auch den Artikel in Wikipedia nicht. Ich dachte Pole gibt es nur bei Brüchen ohne Potenzen.
Sorry für mein Begriffstutzigkeit.
lg milde
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> Also ich den Bruch gekürzt, sodass nur nur 1/X
> übrigbleibt,
> dann ist die Denfinitionslücke also 0, dann gibt es auch
> keinen Grenzwert und den Pol.
Wenn im Ausdruck [mm] \frac{1}{x} [/mm] positive x-Werte eingesetzt
werden, die immer kleiner werden und gegen Null streben,
strebt [mm] \frac{1}{x} [/mm] gegen [mm] +\infty:
[/mm]
[mm] $\limes_{x\downarrow0}\ \frac{1}{x}\ [/mm] =\ [mm] +\infty$
[/mm]
Mach dir das selber klar mit $\ [mm] x\in\{\ 1\ ,\ 0.1\ ,\ 0.01\ ,\ 0.001\ ,\ .....\ \}$
[/mm]
Lassen wir negative x-Werte gegen Null streben, erhalten
wir:
[mm] $\limes_{x\uparrow0}\ \frac{1}{x}\ [/mm] =\ [mm] -\infty$
[/mm]
So erkennt man durch Betrachtung dieser (einseitigen,
uneigentlichen) Grenzwerte, dass die Funktion an der
Stelle einen Pol mit Vorzeichenwechsel hat.
> Wenn ich den Bruch nicht kürze, dann sind die
> Definitionslücken 0 und 2,
> aber dann weiß ich nicht mehr weiter. Leider kapiere ich
> auch den Artikel in Wikipedia nicht. Ich dachte Pole gibt
> es nur bei Brüchen ohne Potenzen.
Pole treten bei Brüchen bei Nullstellen des Nenners auf,
an welchen der Zähler nicht Null ist. Ist an einer Stelle
Zähler=Nenner=0, so ist eine weitere Abklärung nötig.
LG Al-Chw.
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