hermitsche matrix, Korrektur < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Kreide |
| Aufgabe | Sei A eine 2x2 Matrix aus [mm] \IC [/mm] und hermitisch.
Zeige: A ist genau dann positiv definit, wenn die Spur von A und die Determinante det (A) positiv ist. |
Hallo,
habe ich den beweis richtig geführt?
Es ist erstmal nur eine richtung:
Sei A= [mm] \pmat{ a & b \\ c & d }
[/mm]
Da A hermitisch gilt, [mm] A=A^{*}
[/mm]
Also c=b
A positiv definit bedeutet: alle "Unterhauptdeterminanten" sind positiv, d.h.
a >0 [mm] ad-cb=ad-c^2 [/mm] >0
Daraus folgt trivialerweise, dass die Determinante det(A) positiv ist.
Nun zur Spur:
[mm] ad-c^2 [/mm] >0 [mm] \gdw [/mm] ad > [mm] c^2
[/mm]
Da a > 0 ist (Hauptunterdeterminante, positiv definiheit..) muss d auch größer null sein, da [mm] c^2 [/mm] ja logischerweise eine positive zahl ist.
Gruß kreide
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:09 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> Sei A eine 2x2 Matrix aus [mm]\IC[/mm] und hermitisch.
>
> Zeige: A ist genau dann positiv definit, wenn die Spur von
> A und die Determinante det (A) positiv ist.
> Hallo,
> habe ich den beweis richtig geführt?
>
> Es ist erstmal nur eine richtung:
>
> Sei A= [mm]\pmat{ a & b \\ c & d }[/mm]
>
> Da A hermitisch gilt, [mm]A=A^{*}[/mm]
> Also c=b
das gilt aber nur, wenn [mm] c,b\in\IR [/mm] - wie sieht es denn mit komplexen Einträgen aus?
Lg
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Kreide |
Hallo Herby,
beim hermiteschen Matrizen ist der Imaginärteil schiefsymmetrisch, also gilt
dann c=-b. Aber man will ja eine allgemeine Matrix aufstellen, das heißt c, b können komplex sein müssen es aber nicht, gell?
Darf man dann überhaupt sagen, das c=-b? Dann wäre ja die Allgemeinheit eingeschränkt...
Gruß kreide
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo Kreide,
das geht auch nicht so, denn wenn du mal für c=2+2i nimmst, dann ist doch:
-(c)=-(2+2i)=-2-2i
konjugiert komplex müsste aber [mm] \red{+}2-2i [/mm] dastehen.
Damit klappt die ganze Beweisführung nicht mehr. Ich kann dir aber im Augenblick auch keine Lösung sagen ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Die anderen Fragen sind ja noch offen.
Lg
Herby
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:12 Mi 09.07.2008 | | Autor: | Kreide |
zur Rückrichtung...
Spur A >0 und det(A)>0 [mm] \Rightarrow [/mm] A positiv definit (d.h. beide Hauptabschnittsdeterminante müssen positiv sein)
2. Hauptabschnittsdeterminante
ab-bc>0 trivial
1. Hauptabschnittsdeterminante:
es gilt ja wegen der positiven
Spur : a+d >0 [mm] \Rightarrow [/mm] a>-d
das heißt ja noch nicht, dass a wirklich positiv ist... :(
kann mir jm hier kurz helfen? danke!
gruß kreide
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 09.07.2008 | | Autor: | ullim |
Hi,
wenn A hermitisch ist gilt
[mm] a=\overline{a} [/mm] und [mm] d=\overline{d}
[/mm]
also a und d [mm] \in\IR
[/mm]
und [mm] b=\overline{c}
[/mm]
(I) Ist A positiv definit dann folgt a>0 und det(A)>0 also wegen
[mm] det(A)=ad-bc=ad-|c|^2>0 [/mm] gilt auch d>0 also gilt Spur(A)>0 und det(A)>0
(II) Ist Spur(A)=a+d>0 und [mm] det(A)=ad-|c|^2>0 [/mm] (A ist hermitisch)
fogt ad>0 also (a>0 und d>0) oder (a<0 und d<0). Wegen Spur(A)>0 folgt a>0 also ist A positiv definit.
mfg ullim
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