höchstgelegener Tiefpunkt < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:18 Mo 14.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hallo zusammen
Schon wieder Mathe gehabt und schon wieder ne Frage. Den ersten Teil der Aufgabe habe ich hinbekommen und habe mir schon selber mal dafür auf die Schulter geklopft. Nun kommt jedoch der zweite Teil und stehe ich im Wald
Aufgabe: Bestimmen Sie das k für das (das k steht im Index) fk(x) den höchstgelegenen Tiefpunkt hat
die Formel ist folgende: fk(x)= x²+2kx+1
Ich hab jetzt gar keine Ahnung was ich machen muss damit ich zu einem Ergebniss komme. Wie muss man da bitte vorgehen.
Bn dankbar für jeden Hinweis
gruß noidea
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Hallo,
der höchstegelegene Tiefpunkt kann so aufgefasst werden:
Durch die Definition des Parameters k existieren viele Tiefpunkte. Diese Tiefpunkte liegen alle auf einer Kurve. Diese Kurve ermittelst du durch Berechnung des Tiefpunktes von fk(x) und den erhaltenen x-Wert in fk(x) einsetzt. Lösung wäre hier: y=3x²+1 (=Kurve auf der alle Tiefpunkte von fk(x) liegen).
Von dieser Kurve ermittelst du wiederum das Maxima. Damit erhälst du den König aller Tiefpunkte, sprich: den höchstgelegenen Tiefpunkt der ursprünglichen Funktionsschar fk(x).
Hoffe geholfen zu haben!
Gruß! Uwe
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Di 15.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hi Andrea Hi Uwe
vielen dank für eure Antworten. Allerdings habe ich noch keinen Weg gefunden eure Hilfe umzusetzen.
@Uwe bei dir verstehe ich nicht wie du auf y=3x²+1 kommst. Wäre echt cool wenn du mir den Lösungsweg aufschreiben könntest. Auch habe ich keinen Plan wie ich von dieser Kurve das Maximum ermittel.
@ Andrea
Also k ist als konstante definiert. Ich weiß nur nicht wie das mit dem ermitteln gehen soll für welche k maximal wird. Wie funktioniert das mit der Ableitung. Mit der 0 liegst du glaube ich richtig weil ich habe das mal mit excel zeichnen lassen für verschiedene Werte und 0 scheint den höchsten punkt zu haben.
hoffe ihr könnt mir helfen
gruß tobbe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 Di 15.02.2005 | | Autor: | Youri |
Hallo Tobbe!
> @ Andrea
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> Also k ist als konstante definiert. Ich weiß nur nicht wie
> das mit dem ermitteln gehen soll für welche k maximal wird.
> Wie funktioniert das mit der Ableitung. Mit der 0 liegst du
> glaube ich richtig weil ich habe das mal mit excel zeichnen
> lassen für verschiedene Werte und 0 scheint den höchsten
> punkt zu haben.
Versuch's doch mal der Reihe nach - ich notiere hier nochmal einen "Fahrplan"...
Bestimme die Tiefpunkte - wie machst Du das?
1. Ableitung I + II bestimmen
Mögliche Extrempunkte findest Du, indem Du die erste Ableitung gleich Null setzt - und nach x umstellst.
Zur Überprüfung musst Du diese möglichen Extremstellen in die zweite Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis positiv, so liegt ein Tiefpunkt vor (und umgehrt ein Hochpunkt bei negativem Ergebnis).
Kontrollergebnisse - unbedingt selbst ausrechnen...
$ [mm] f_k(x)= x²+2\cdot{}k\cdot{}x+1 [/mm] $
$ f'_k(x)= [mm] 2*x+2\cdot{}k [/mm] $
$ f''_k(x)= 2 $
Also - wo sind denn die möglichen Extremstellen?
Rechne doch mal vor - und wenn Du die x-Koordinaten der Tiefpunkte
der Funktion ermittelt hast, brauchst Du auch noch die y-Koordinate...
dazu musst Du Deine ermittelten Werte für $x$ in die Funktion [mm] $f_k(x)$ [/mm] einsetzen.
Mach das doch mal soweit -
danach ist es dann kein zu weiter Weg mehr...
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:38 Di 15.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hi Andrea danke noch mal das du dir so viel Zeit nimmst.
Also ich habe die Ableitungen genauso wie du sie angegeben hast. Nun habe ich die 1 Ableitung nach x aufgelöst und bin zu folgendem Ergebniss gekommmen
x= - [mm] \bruch{2k}{2}
[/mm]
und dies müsste dann ja - k sein. Also ist mein ergebnis -k
Aber wie soll ich diesen Wert jetzt in die 2 Ableitung einsetzen die ist ja 2. Das sagt mir nur, dass ich jetzt auf jeden Fall einen Tiefpunkt vorliegen habe. Und jetzt soll ich ja dieses -k in die Funktion einsetzen
also erhalte ich daraus
k²+2*k*(-k)+1
k²-2k²+1
-k²+1
und jetzt muss ich 1 einsetzen damit das null wird, also ist der Punkt (0|1)
hoffe ich habe das richtig verstanden. Verbesser mich wenn ich was falsch gemacht habe
gruß tobbe
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:03 Di 15.02.2005 | | Autor: | Youri |
Hello again, Tobbe!
> Also ich habe die Ableitungen genauso wie du sie angegeben
> hast. Nun habe ich die 1 Ableitung nach x aufgelöst und bin
> zu folgendem Ergebniss gekommmen
>
> [mm] x= -\bruch{2k}{2} [/mm]
> und dies müsste dann ja - k sein. Also ist mein ergebnis
> -k
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") An der Stelle [mm] $x_0=-k$ [/mm] besteht die Möglichkeit eines Extrempunktes.
> Aber wie soll ich diesen Wert jetzt in die 2 Ableitung
> einsetzen die ist ja 2. Das sagt mir nur, dass ich jetzt
> auf jeden Fall einen Tiefpunkt vorliegen habe.
Genau, richtig gedacht. Die zweite Ableitung ist unabhängig von dem Wert für $x,k$ immer positiv - damit liegt in Deinem vermuteten Extrempunkt tatsächlich ein Tiefpunkt vor.
> Und jetzt
> soll ich ja dieses -k in die Funktion einsetzen
Unbedingt!  DU musst ja wissen, wo genau diese Tiefpunkte liegen - und da reicht die x-Koordinate nicht aus.
> also erhalte ich daraus
>
> k²+2*k*(-k)+1
>
> k²-2k²+1
>
> -k²+1
[mm]f_k(-k)= (-k)^2+2*k\*(-k)+1=k^2-2*k^2+1=-k^2+1[/mm]
Ja, genau ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]") .
Deine Funktion hat also im Punkt [mm] $T_k(-k;-k^2+1)$ [/mm] einen Tiefpunkt.
> und jetzt muss ich 1 einsetzen damit das null wird, also
> ist der Punkt (0|1)
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") Ich kann nicht folgen.
Du musst doch jetzt überlegen, für welches $k$ der Tiefpunkt den größten y-Wert annimmt.
Mit anderen Worten, Du suchst das Maximum der y-Koordinate...
Die y-Koordinate ist hier beschrieben als eine Funktion in Abhängigkeit von $k$ - wie bestimmt man denn ein Maximum einer Funktion?
Naaaa... *kitzel*
Hast Du eine Idee?
Wenn nicht, einfach nachfragen...
Lieben Gruß,
Andrea.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Mi 16.02.2005 | | Autor: | noidea |
Hi Andrea
habe mal ne Nacht über die Aufgabe geschlafen, bin aber trotzdem zu keinem richtigen Ergebnis gekommen.
Mir ist klar, dass 0 für -k eingesetzt werden muss, weil dann ja das höchste Ergebnis rauskommt.
Denn habe ich ja 0+1 wenn ich die Null für -k einsetze. Dies ist der höchste wert der erreicht werden kann. Sobald ich irgendeine rationelle Zahl einsetze ziehe ich ja immer etwas von 1 ab und somit muss bei (0|1) der höchste Tiefpunkt sein.
Nun weiß ich aber nicht wie man das aufschreibt. Da muss es ja auch ne Formel geben, wei man das ausrechnet. Das ist ja nicht immer so einfach wie bei meinem Beispiel.
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden und meine Lösung ist richtig. Wenn ich jetzt noch den Weg zum Aufschreiben habe dann habe ich es endlich geschafft und mit viel Hilfe von dir die Aufgabe gelöst.
gruß tobbe
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Hallo Tobias,
> habe mal ne Nacht über die Aufgabe geschlafen, bin aber
> trotzdem zu keinem richtigen Ergebnis gekommen.
>
> Mir ist klar, dass 0 für -k eingesetzt werden muss, weil
> dann ja das höchste Ergebnis rauskommt.
>
> Denn habe ich ja 0+1 wenn ich die Null für -k einsetze.
> Dies ist der höchste wert der erreicht werden kann. Sobald
> ich irgendeine rationelle Zahl einsetze ziehe ich ja immer
> etwas von 1 ab und somit muss bei (0|1) der höchste
> Tiefpunkt sein.
>
> Nun weiß ich aber nicht wie man das aufschreibt. Da muss es
> ja auch ne Formel geben, wei man das ausrechnet. Das ist ja
> nicht immer so einfach wie bei meinem Beispiel.
>
> Ich hoffe ich habe das richtig verstanden und meine Lösung
> ist richtig. Wenn ich jetzt noch den Weg zum Aufschreiben
> habe dann habe ich es endlich geschafft und mit viel Hilfe
> von dir die Aufgabe gelöst. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
>
Deine Funktion hat also im Punkt $ [mm] T_k(-k;-k^2+1) [/mm] $ einen Tiefpunkt.
das bedeutet:
$x = -k $ und $y = [mm] -k^2+1$
[/mm]
Für jedes k gibt es einen neuen Tiefpunkt und sie liegen alle auf einer  Ortskurve.
Man muss nur den Parameter k "eliminieren" (= rauswerfen) , dann erkennst du die Kurve:
k = -x [mm] \Rightarrow [/mm] $y = [mm] -(-x)^2+1 [/mm] = - [mm] x^2 [/mm] + 1$
Hier siehst du meine Zeichnung für drei verschiedene k:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Die nach unten geöffnete Parabel ist die Ortskurve für alle Tiefpunkte.
Wo hat sie ihren höchsten Punkt?
Das kannst du natürlich jetzt am Bild ablesen; aber wie bestimmt man den höchsten Punkt einer Parabel?!?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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Hi, also ich geh das thema nochmal Schritt für Schritt mit dir durch:
Ausgehen werde ich von deinen berechneten Tiefpunkt der Funktion.
T (-k | 3k²+1)
Dies ist noch keine eindeutige Lösung, es handelt sich vielmehr um mehrere Tiefpunkte, abhängig von k.
Als nächstes erstellst du eine neue Funktion, auf der alle diese Tiefpunkte liegen. Gehe wie folgt vor:
x = -k
stelle nach k um; ergibt: k = -x
y = 3k²+1
setze nun k ein; ergibt Funktionsschar aller Tiefpunkte:
y = 3x²+1
Nun möchtest du aber wissen welcher dieser Tiefpunkte der höchstegelegene ist, folglich suchst du ein Maxima dieser neuen Funktion.
Also wieder 1. Ableitung usw.
Hast du dann endlich den richtigen x-Wert für das höchstegelegene Maxima erhalten, dann setzt du diesen in die Ausgangsfunktion fk(x) ein und erhälst den höchstegelegenen Tiefpunkt!
Viel spaß! :)
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